Burnside引理与Polya定理

置换

[f = egin{bmatrix} 1 & 2 & …… & i &…… & n \ a_1 & a_2 & …… & a_i & …… & a_n end{bmatrix} ]

简单来说就是对元素进行重排列。$1 ightarrow a_1 $, (2 ightarrow a_2),(i ightarrow a_i) ……，(n ightarrow a_n)

置换可以分解成若干循环
如果一个状态经过置换 (f) 后跟原来相同，称为不动点 ,即 (s[1] = s[a_1],s[2] = s[a_2],……,s[i] = s[a_i],……,s[n] = s[a_n])
本质不同的方案数 ，一般是指等价类的数目。等价关系通常是一个置换集合 (F) ,满足等价关系的元素属于同一等价类.如果一个置换能把其中一个方案映射到另一个方案，则二者是等价的。

(Burnside) 引理

对于一个置换 (f) ,若一个染色方案 (s) 经过置换后不变，称 (s) 为 (f) 的不动点。将 (f) 的不动点数目记为 (C(f)) ，则可以证明等价类数目为所有 (C(f)) 的平均值,即本质不同的方案数。

[l = frac{1}{|G|}[c_1(a_1) + c_2(a_2) + …… + c_i(g_i) + …… + c_n(g_n)] ]

其中，(|G|) 代表置换个数。

(burnside) 是一种计数方法，用来计算含有不等价类的数量,其键是找好 置换群 。

利用 (Burnside) 引理要首先列出所有(m^n) 种可能的染色方案，然后找出在每个置换下保持不变的方案数。显然当 (m) 或 (n) 很大的时候，这个方法会非常繁琐，这时就需要用到 (polya) 定理。

(Polya) 定理：记置换 (G={f_1,...,f_k}) ，在 ([1,m]^n) 上，不同的向量数目为

[L=frac{Sigma ^k_{i=1}m^{l(f_i)})}{|G|} ]

其中 (l(a_i)) 表示置换 (a_i) 可以展开为循环的节数, (m^{l(f_i)} = C(f_i)) ;(G) 中不含重复的置换。