欧几里得算法
欧几里得算法又称为辗转相除法 用来计算gcd(a , b)
int gcd(int a , int b) { return a%b==0?b:gcd(b , a%b); }
时间复杂度：O(log(b))
证明如下：
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
扩展算法
算法描述：对于完全不为0的非负整数a , b。gcd(a , b)表示a , b的最大公约数，必然存在整数x , y，使得gcd(a , b) = a*x+b*y。
证明如下：
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
说明： a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数。
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
算法实现：
int kuo_zhan(int a , int b , int &x , int &y) { if(b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } int q = gcd(b , a%b , y , x); y -= a/b*x; return q; }
部分变换：
变换之后实现如下：
int kuoz_zhan_2(int a , int b , int &x , int &y) { if(b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } int q = gcd(b , a%b , x , y); int tmp = x; x = y; y = tmp-a/b*y; return q; }
证明如下：
把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a'=b,b'=a%b 而言，我们求得 x, y使得 a'x+b'y=Gcd(a',b')
那么可以得到:
a'x+b'y=Gcd(a',b') ===>
bx+(a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)
一般解：
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(a, b) * t
q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
扩展欧几里得
算法描述：扩展欧几里得可以解决不定方程求解问题，如a*x+b*y=c,其中c=gcd(a , b)时为扩展问题，c不为gcd(a , b)时，需要满足c%gcd(a , b)=0才会有解，否则无解
证明略。
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可，但是所得解并不是该方程的所有解，找其所有解的方法如下：
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，可以
得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，p * a+q * b = c的其他整数解满足：
p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。