径向基函数网络（Radial Basis Function Network）：就是将基假设函数进行线性聚合。
径向基函数网络假设函数（RBF Network Hypothesis）
先回顾一下高斯支持向量机（Gaussian SVM）：
[g _ { mathrm { svm } } ( mathbf { x } ) = operatorname { sign } left( sum _ { mathrm { SV } } alpha _ { n } y _ { n } exp left( - gamma left| mathbf { x } - mathbf { x } _ { n }
ight| ^ { 2 }
ight) + b
ight)
]
其实际上是找出系数 (alpha_n) 将以 (mathbf { x } _ { n }) 为中心的高斯函数进行线性结合。
Gaussian kernel 又叫 Radial Basis Function (RBF) kernel，其中 Radial 指的是这里之关系 (mathbf { x }) 与中心 (mathbf { x } _ { n }) 之间的距离（类似于一种放射线长度求解）。
那么写出高斯支持向量机中的径向基假设函数：
[g _ { n } ( mathbf { x } ) = y _ { n } exp left( - gamma left| mathbf { x } - mathbf { x } _ { n }
ight| ^ { 2 }
ight)
]
那么高斯支持向量机可以改写为：
[g _ { mathrm { svm} } ( mathbf { x} ) = operatorname { sign } left( sum _ { mathrm { SV } } alpha _ { n } g _ { n } ( mathbf { x } ) + b
ight)
]
可以看出被选择的径向基假设函数的线性结合（linear aggregation of selected radial hypotheses）。
RBF Network 的网络结构示意图如下：
实际上 RBFNet 是 NNet 的一个分支，可见输出层虽然使用的是投票，但是这也是一种线性组合所以与神经网络是一样的。但是隐含层是不同的，在神经网络中使用的是内积加 tanh 输出，而在 RBFNet 中使用的是距离计算加高斯函数。
那么可以写出 RBFNet 的输出假设函数：
[h ( mathbf { x } ) = ext { Output } left( sum _ { m = 1 } ^ { M } eta _ { m } operatorname { RBF } left( mathbf { x } , mu _ { m }
ight) + b
ight)
]
其中 (mu _ { m }) 是中心点，(eta _ { m }) 是投票系数。
对比与高斯支持向量机：
- RBF（径向基函数）选择的是高斯函数。
- Output（输出）选择 sign 做为二分类输出。
- M 则是支持向量的个数（#SV）。
- (mu _ { m }) 则是支持向量 (mathbf{x}_m)。
- (eta _ { m }) 则是通过 SVM Dual 问题求解 (alpha_m) 与 (y_m) 的乘积。
不失普遍性的来说：如果要学习径向基函数网络的话，需要选择四个部分：径向基函数 RBF ，输出层假设函数 Output ，中心点的求取 (mu _ { m }) ，投票的系数 (eta _ { m })。
实际上核技巧实际上就是根据在 (mathcal Z) 空间上的内积求取相似性，比如多项式核：
[operatorname { Poly } left( mathbf { x } , mathbf { x } ^ { prime }
ight) = left( 1 + mathbf { x } ^ { T } mathbf { x } ^ { prime }
ight) ^ { 2 }
]
而RBF则是直接通过在 (mathcal X) 空间上的距离求取相似性，一般认为距离越近相似性越大，也就是说距离与相似性单调相关。比如下面这个截断相似性函数：
[ ext { Truncated } left( mathbf { x } , mathbf { x } ^ { prime }
ight) = left[ left| mathbf { x } - mathbf { x } ^ { prime }
ight| leq 1
ight] left( 1 - left| mathbf { x } - mathbf { x } ^ { prime }
ight|
ight) ^ { 2 }
]
而高斯函数则处于他们的交集。
[ ext { Gaussian } left( mathbf { x } , mathbf { x } ^ { prime }
ight) = exp left( - gamma left| mathbf { x } - mathbf { x } ^ { prime }
ight| ^ { 2 }
ight)
]
相似性是很好的一种特征转换方法。在RBF中则是将中心距离相似性作为特征转换的。其他的相似性函数比如神经元函数或者DNA序列相似性函数：
[egin{array} { c } ext { Neuron } left( mathbf { x } , mathbf { x } ^ { prime }
ight) = anh left( gamma mathbf { x } ^ { T } mathbf { x } ^ { prime } + 1
ight) \ ext { DNASim } left( mathbf { x } , mathbf { x } ^ { prime }
ight) = ext { EditDistance } left( mathbf { x } , mathbf { x } ^ { prime }
ight) end{array}
]
RBF网络的训练/学习（RBF Network Learning）
完全RBF网络（Full RBF Network）
如果不考虑 bais ，那么可以写为：
[h ( mathbf { x } ) = operatorname { Output } left( sum _ { m = 1 } ^ { M } eta _ { m } operatorname { RBF } left( mathbf { x } , oldsymbol { mu } _ { m }
ight)
ight)
]
如果令 (M = N) 并且每一个 (mu _ { m } = mathbf { x } _ { m }) 那么这个RBF网络便是完全RBF网络（full RBF Network）。这么做的物理意义是 (mathbf { x } _ { m }) 将通过系数 (eta_ { m }) 来影响每一个与之相似的 (mathbf x)。
那么举例来说，如果使用一个 uniform influence 即 (eta _ { m } = 1 cdot y _ { m })，也就是说大家票数一致。
[g _ { ext {unitorm } } ( mathbf { x } ) = operatorname { sign } left( sum _ { m = 1 } ^ { N } y _ { operatorname { m} } exp left( - gamma left| mathbf { x } - mathbf { x } _ { m }
ight| ^ { 2 }
ight)
ight)
]
所以说完全RBF网络是一种偷懒的做法，省去了中心向量 (mu _ m) 的求取。
最邻近算法（Nearest Neighbor）
由于高斯函数衰减很快，那么会导致离中心最近的值会获得很大的权重，支配（dominates）投票过程，也就是说具有 “专断权”。所以这个过程更类似于选择一个最大值（最近向量），而不是聚合过程。即：
[g _ { ext {nbor } } ( mathbf { x } ) = y _ { m } ext { such that } mathbf { x } ext { closest to } mathbf { x } _ { m }
]
所以叫做最邻近模型（nearest neighbor model）。
常用的是 K 邻近模型，根矩 Top k 最邻近的样本进行均值投票（uniformly aggregate k neighbor），虽然很懒（lazy）但是很直观。
无正则化用于插值（Interpolation）
那么如果用于 Regression，那么以平方误差作为误差测量函数，最后的假设函数可以写为：
[h(mathbf x) = left( sum _ { m = 1 } ^ { N } eta _ { m } operatorname { RBF } left( mathbf { x } , mathbf { x } _ { m }
ight)
ight)
]
可以看出这就是在通过 RBF 映射到的空间上训练线性回归模型
那映射后的数据表示为：
[mathbf { z } _ { n } = left[ operatorname { RBF } left( mathbf { x } _ { n } , mathbf { x } _ { 1 }
ight) , operatorname { RBF } left( mathbf { x } _ { n } , mathbf { x } _ { 2 }
ight) , ldots , operatorname { RBF } left( mathbf { x } _ { n } , mathbf { x } _ { N }
ight)
ight]
]
矩阵 (mathrm { Z }) 由 (n) 个 (mathbf { z } _ { n }) 构成，所以矩阵 (mathrm { Z }) 为 (N ext{(example)} imes N ext{(centers)}) 的对称方阵（symmetric square matrix），根据线性回归可以写出 (eta) 的最优解：
[eta = left( mathrm { Z } ^ { T } mathrm { Z }
ight) ^ { - 1 } mathrm { Z } ^ { T } mathbf { y } , ext { if } mathrm { Z } ^ { T } mathrm { Z } ext { invertible }
]
那么如果全部的 (mathbf { x } _ { n }) 的都是不同的，那么 (mathrm { Z }) （with Gaussian RBF）便是可逆的（invertible）。
又因为 (mathrm { Z }) 是对称方阵，也就是说 (mathrm { Z }^T = mathrm { Z })。那么可以化简为：
[eta = left( mathrm { Z } mathrm { Z }
ight) ^ { - 1 } mathrm { Z } mathbf { y } = mathrm { Z } ^ { - 1 } mathbf { y }
]
正则化（Regularization）
那么 (mathrm { x } _ { 1 }) 的 RBF的网络输出为：
[g _ { mathrm { RBF } } left( mathrm { x } _ { 1 }
ight) = oldsymbol { eta } ^ { T } mathrm { z } _ { 1 } = mathbf { y } ^ { T } mathrm { Z } ^ { - 1 } ( ext {first column of } mathrm { Z } ) = mathbf { y } ^ { T } left[ egin{array} { l l l l } 1 & 0 & ldots & 0 end{array}
ight] ^ { T } = y _ { 1 }
]
也就是说 (g _ { mathrm { RBF } } left( mathrm { x } _ { n }
ight) = y _ { n } , ext { i.e. } E _ { mathrm { in } } left( g _ { mathrm { RBF } }
ight) = 0)，那么这样的结果用于精确插值的函数估计（exact interpolation for function approximation）是非常好的，但是在机器学习中便会出现过拟合问题。所以可以加入 Regularization，当然前面学习过岭回归（ridge regression），可以将 regularized full RBFNet (eta) 的求解改写为：
[eta = left( mathrm { Z } ^ { T } mathrm { Z } + lambda mathrm { I }
ight) ^ { - 1 } mathrm { Z } ^ { T } mathrm { y }
]
在 kernel ridge regression 中，有一个 (mathbf { K }) 矩阵：
[mathrm { Z } = left[ ext {Gaussian } left( mathbf { x } _ { n } , mathbf { x } _ { m }
ight)
ight] = ext { Gaussian kernel matrix } mathbf { K }
]
在 kernel ridge regression 中，(eta) 的求解为：
[eta = ( mathrm { K } + lambda mathrm { I } ) ^ { - 1 } mathrm { y }
]
两者很相近，但是由于正则化的对象不同所以求解公式也不同，在核岭回归中的针对的正则化对象为无限多维的转换。而 RBF 中针对的是有限多维的 (N) 维的转换。
K均值算法（k-Means Algorithm）
反观 SVM，实际上并没有使用到全部的 (mathbf x_n) ，而只是用到了支持向量，即 (M ll N)。
[g _ { mathrm { svm } } ( mathbf { x } ) = operatorname { sign } left( sum _ { mathrm { SV } } alpha _ { m } y _ { m } exp left( - gamma left| mathbf { x } - mathbf { x } _ { m }
ight| ^ { 2 }
ight) + b
ight)
]
也就是通过限制中心的个数和投票的权重来达到正则化的效果（regularization by constraining number of centers and voting weights）。
现在的思路是找出一些“中心”代表（prototypes）。
聚类问题（Clustering Problem）
找代表的过程实际上是一种聚类问题。什么意思呢？
[egin{array} { l } quad ext { if } mathbf { x } _ { 1 } approx mathbf { x } _ { 2 } \ Longrightarrow ext { no need both } operatorname { RBF } left( mathbf { x } , mathbf { x } _ { 1 }
ight) & operatorname { RBF } left( mathbf { x } , mathbf { x } _ { 2 }
ight) ext { in RBFNet } \ Longrightarrow ext { cluster } mathbf { x } _ { 1 } ext { and } mathbf { x } _ { 2 } ext { by one prototype } mu approx mathbf { x } _ { 1 } approx mathbf { x } _ { 2 } end{array}
]
也就是说 (operatorname { RBF } left( mathbf { x } , mathbf { x } _ { 1 }
ight)) 可以很大程度上代表（表示） (operatorname { RBF } left( mathbf { x } , mathbf { x } _ { 2 }
ight))。
那么这种通过代表（代理人）进行聚类（clustering with prototype）的过程为：
- 将 (left{ mathbf { x } _ { n }
ight}) 分为M个互斥（不想交）的集合（disjoint sets）：(S _ { 1 } , S _ { 2 } , cdots , S _ { M })。
- 为每一个 (S_m) 选择最佳的 ({ mu } _ { m } approx mathbf { x } _ { 1_m } approx cdots approx mathbf { x } _ { K_m }) ，其中 (mathbf { x } _ { 1_m } cdots mathbf { x } _ { K_m } in S _ { m })。
使用平方测量的聚类误差
[E _ { mathrm { in } } left( S _ { 1 } , cdots , S _ { M } ; mu _ { 1 } , cdots , mu _ { M }
ight) = frac { 1 } { N } sum _ { n = 1 } ^ { N } sum _ { m = 1 } ^ { M } left[ mathbf { x } _ { n } in S _ { m }
ight] left| mathbf { x } _ { n } - oldsymbol { mu } _ { m }
ight| ^ { 2 }
]
所以现在的聚类问题的优化目标为：
[min _ { left{ S _ { 1 } , cdots , S _ { M } : mu _ { 1 } , cdots , mu _ { M }
ight} } E _ { i n } left( S _ { 1 } , cdots , S _ { M } ; mu _ { 1 } , cdots , mu _ { M }
ight)
]
优化（Optimization）
在优化过程中涉及到两个部分的最佳化问题：如何分群以及如何寻找中心点。
这样的组合和数值（ combinatorial-numerical optimization）两个问题结合优化的过程是比较难以优化的：
那么如果只对一个问题寻优，那么问题就会简单很多。
分区寻优（Partition Optimization）
假设 (mu _ { 1 } , mu _ { 2 } , ldots , mu _ { k }) 已经固定，那么一个又一个地通过下面这个公式选择最优的组群：
[ ext { optimal chosen subset } S _ { m } = ext { the one with minimum } left| mathbf { x } _ { n } - oldsymbol { mu } _ { m }
ight| ^ { 2 }
]
也就是对于每一个 (mathbf { x } _ { n }) 都在 (mu _ { 1 } , mu _ { 2 } , ldots , mu _ { k }) 中选择最近的 (mu _ { m }) ，并以此为依据进行最优分区（optimally partitioned）。
代表寻优（Prototype Optimization）
假设 (S _ { 1 } , cdots , S _ { M }) 已经固定，那么这个优化问题便成为了一个关于每一个 (mu _ m) 的无约束最优化问题：
[
abla _ { oldsymbol { mu } _ { m } } E _ { mathrm { in } } = - 2 sum _ { n = 1 } ^ { N } left[ mathbf { x } _ { n } in S _ { m }
ight] left[ mathbf { x } _ { n } - oldsymbol { mu } _ { m }
ight) = - 2 left( left( sum _ { mathbf { x } _ { n } in S _ { m } } mathbf { x } _ { n }
ight) - left| S _ { m }
ight| oldsymbol { mu } _ { m }
ight)
]
可以看出来最优的代表值便是全部样本的平均值：
[ ext { optimal prototype } mu _ { m } = ext { average of } mathbf { x } _ { n } ext { within } S _ { m }
]
对于每个 (S _ { 1 } , S _ { 2 } , ldots , S _ { k }) 都求均值作为最佳 (mu_m) 的计算方法（optimally computed）。
具体实现
[egin{array} { l } ext { (1) initialize } mu _ { 1 } , mu _ { 2 } , ldots , mu _ { k } : ext { say, as } k ext { randomly chosen } x _ { n } \ ext { (2) alternating optimization of } E _ { ext {in } } ext { : repeatedly } \ qquad ext { (1) Optimize } S _ { 1 } , S _ { 2 } , ldots , S _ { k } : ext { each } x _ { n } ext { optimally partitioned using its closest } mu _ { i } \ qquad ext { (2) Optimize } mu _ { 1 } , mu _ { 2 } , ldots , mu _ { k } ext { : each } mu _ { n } ext { optimally computed as the consensus within } S _ { m } \ qquad ext { until converge } end{array}
]
收敛（converge ）：(S _ { 1 } , S _ { 2 } , ldots , S _ { k }) 不再改变。因为上述的交替迭代过程是使得 (E _ { ext {in } }) 不断变小的过程，同时(E _ { ext {in } }) 的最小值为 0，所以必然收敛。
由于交替寻优（alternating minimization）的特性，K均值算法成为了最流行的距离算法。
正则化RBF网络
使用K均值算法，找出K个具有代表性的 (mu _ k)，来构造 (N ext{(examples)} imes K ext{(centers)}) 的 (mathrm{Z}) 矩阵。
那么 RBF Network Using k-Means 的实现过程为：
[egin{array} { l } ext { (1) run } k ext { -Means with } k = M ext { to get } left{ oldsymbol { mu } _ { m }
ight} \ ext { (2) construct transform } Phi ( mathbf { x } ) ext { from RBF (say, Gaussian) at } mu _ { m } \ qquad mathbf { Phi } ( mathbf { x } ) = left[ operatorname { RBF } left( mathbf { x } , mu _ { 1 }
ight) , operatorname { RBF } left( mathbf { x } , mu _ { 2 }
ight) , ldots , operatorname { RBF } left( mathbf { x } , mu _ { M }
ight)
ight] \ ext { (3) run linear model on } left{ left( mathbf { Phi } left( mathbf { x } _ { n }
ight) , y _ { n }
ight)
ight} ext { to get } eta \ ext { (4) return } g _ { ext {RBFNET } } ( mathbf { x } ) = ext { LinearHypothesis } ( oldsymbol { eta } , mathbf { Phi } ( mathbf { x } ) ) end{array}
]
这实际上就是使用无监督学习方法来辅助特征转换（using unsupervised learning (k-Means) to assist feature transform）。需要的参数有两个：一个是代表的个数 (M)，另一个是RBF的选择（比如中心为 (gamma) 的高斯函数）。
k-Means和RBF网络的实际应用（k-Means and RBF Network in Action）
K-Means in Action
下面展示k-Means算法的实际优化过程：
其中第一行是分区优化，第二行是代表（中心点）寻优。可看出合理的初始值和k可以获得不错的聚类效果。
RBF Network Using k-Means in Action
图中发黑的地方代表了高斯密度函数的分布形式。可以看出合理的中心点可以使得 RBF Network 获得比较好的效果。
Full RBF Network in Action
最左边是使用了正则化的RBF的分类效果。最右边是最近邻算法的分类效果。因为两者在一定程度上都用到了全部的数据，所以看起来有些过拟合。所以在实际运用中完全 RBF 网络很少使用。
