动态规划之01背包

1.什么是动态规划

动态规划是一种思想，是一种解决方法，并不是一种特定的算法。动态规划最重要的是状态和状态转移方程。是不是感觉还是听不懂这动态规划到底是啥？听起来就很牛皮，感觉完全学不会？其实并不是这么难理解，下面就结合一道例题来讲解一下https://vjudge.net/problem/POJ-3624

2.分析题意

有N种类型手镯，有着不同的属性，重量w和魅力值d，一个人想装备这些手镯，他有一个载重上限M，并且他想尽可能提高自己的魅力值，求最大的魅力值。

好了，现在让我们简单分析一下

装备一个手镯就会加魅力值和负重
要求魅力值最大，负重有一个上限，不同负重可能装备多种不同的手镯

2.1状态

那么，这题的状态是什么？我们通过上面的分析可以很简单地得出，状态就是不同负重下装备不同的手镯。我们怎么把不同的负重和不同类型手镯对应起来呢？我们可以很容易想到用一个二维数组，行是不同的负重，列是不同的手镯，行列对应的值代表当前的魅力值，这样就把所有的状态都存进来了。

ps.这里的列不是代表单纯只放这种类型手镯，而包括了前面放的手镯。

2.2状态转移

我们不妨令该数组为 D[M][N]，对于D[M][N]来说，它的值有两种取值情况，一种是M的值小于w[N]的值，也就是当前负重不能放下第N个手镯，那么就有D[M][N]=D[M][N-1]，也就是不放第N个手镯。另一种就是M的值大于w[N]的值，也就是可以放下第N个手镯，那么就有D[M][N]=D[M-w[N]][N-1]+d[N]。题目是求最大魅力值，那么转移方程也就出来了D[M][N]=max(D[M-w[N]][N-1]+d[N],D[M][N-1])。我们通过转移方程，可以发现，要想知道有N个手镯装备的魅力值，就要知道有N-1个手镯装备的魅力值，最终就归结到只有一个手镯的魅力值。

2.3图表分析

我们根据例题中的样例数据画出如下表格，记住，表格应该是从最底下那行开始往上画。

手镯类型载重上限	1	2	3	4	5	6
1	4	7	12	16	19	23
2	0	7	12	13	19	19
3	0	7	12	12	19	19
4	0	7	7	7	7	7

我们可以很容易地从图中得知负重上限最大为6的时候，魅力值最大为23。

我们简单验证一下，对于D16，要看D25和D26，D25和D26都是19，但是D25+d1>D26，所以D16=19+4=23。

D25要看D35和D33，D33+d2=18，D35=19，故D25=19。

2.4简化

我们可以发现，要想知道当前层的情况，首先要知道下一层的情况，也就是二维数组其实可以用一维数组来代替。需要注意的一点是，如图

我们发现，上一行的值取决于下一行同一列的值或者前面的列的值。所以，计算该一维数组值的时候，应该从后往前计算。

3.AC代码

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int w[3500];
int v[3500];
int f[12900];
int max(int x, int y) {
	return x > y ? x : y;
}
int main() {
	memset(f, 0, sizeof(f));
	memset(w, 0, sizeof(w));
	memset(v, 0, sizeof(v));
	int N, M;
	while (cin >> N >> M) {
		for (int i = 1; i <= N; i++) {
			cin >> w[i] >> v[i];
		}
		for (int i = N; i >0; i--) {
			for (int j = M; j > 0; j--) {
				if (j >= w[i]) {
					f[j] = max(f[j - w[i]] + v[i], f[j]);
				}
			}
		}
		cout << f[M] << endl;
	}
	return 0;
}