四边形不等式第一题，口胡一下
我们原来的方程式:f[i][j]=sum[i][j]+max(f[i][k]+f[k+1][j]){i<=k<j}
那么，如果我们将最优的那个k记录下来，记为g[i][j]，那么必然会有g[i][j-1]<=g[i][j]<=g[i+1][j]
当然这个东西成立是需要条件的，就是f[i][j']+f[i'][j]<=f[i][j]+f[i'][j'] (i<=i',j'<=j)
博主太弱上面两个都不会证明(只会证明sum[i][j]+sum[i'][j']<=sum[i][j']+sum[i'][j])，下面内容来自百度百科：
对s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]的证明：
设mk[i,j]=m[i,k]+m[k,j]，s[i,j]=d
对于任意k<d，有mk[i,j]≥md[i,j]（这里以m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}为例,max的类似），接下来只要证明mk[i+1,j]≥md[i+1,j]，那么只有当s[i+1,j]≥s[i,j]时才有可能有ms[i+1,j]≤md[i+1,j]
(mk[i+1,j]-md[i+1,j])-(mk[i,j]-md[i,j])
=(mk[i+1,j]+md[i,j])-(md[i+1,j]+mk[i,j])
=(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j])-(m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]+m[k,j])
=(m[i+1,k]+m[i,d])-(m[i+1,d]+m[i,k])
∵m满足四边形不等式，∴对于i<i+1≤k<d有m[i+1,k]+m[i,d]≥m[i+1,d]+m[i,k]
∴(mk[i+1,j]-md[i+1,j])≥(mk[i,j]-md[i,j])≥0
∴s[i,j]≤s[i+1,j]，同理可证s[i,j-1]≤s[i,j]
证毕
这样下来就可以优化了
原来枚举k的时候需要从i~j现在只需要f[i][j-1]~f[i+1][j]就好了，这样是O(n^2)的（也不会证）
#pragma GCC opitmize("O3")
#pragma G++ opitmize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 2010
using namespace std;
int n,m,a[N],s[N],f[N][N],g[N][N];
int main(){
scanf("%d",&n); m=n<<1; memset(g,0x63,sizeof g);
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i),a[i+n]=a[i];
for(int i=1;i<=m;++i) s[i]=s[i-1]+a[i],g[i][i]=0,f[i][i]=i;
for(int k=1;k<=m;++k)
for(int i=1,j;i+k<=m;++i){
j=i+k;
for(int x=f[i][j-1];x<=f[i+1][j];++x)
if(g[i][j]>g[i][x]+g[x+1][j]){ g[i][j]=g[i][x]+g[x+1][j]; f[i][j]=x; }
g[i][j]+=s[j]-s[i-1];
}
for(int i=1;i<=n;++i) **g=min(**g,g[i][i+n-1]);
printf("%d
",**g); memset(g,0,sizeof g);
for(int i=1;i<=m;++i) g[i][i]=0,f[i][i]=i;
for(int k=1;k<=m;++k)
for(int i=1,j;i+k<=m;++i){
j=i+k;
for(int x=f[i][j-1];x<=f[i+1][j];++x)
if(g[i][j]<g[i][x]+g[x+1][j]){ g[i][j]=g[i][x]+g[x+1][j]; f[i][j]=x; }
g[i][j]+=s[j]-s[i-1];
}
for(int i=1;i<=n;++i) **g=max(**g,g[i][i+n-1]);
printf("%d
",**g);
}