egin{example}
求所有整数$a,b$,其中$|a|leq 5,|b|leq 5$,使得$x^4-3x^2-ax+b=0$恰有两个不同的整数解.
end{example}
egin{solution}
当$xgeq 0$时,有$x^4-3x^2=ax-bleq 5x+5$,则$0leq xleq 2.43$;同理可知,当$x< 0$时,有$x^4-3x^2=ax-bleq -5x+5$,
则$0>x>-2.43$.因此整数$x$只能取$-2,-1,0,1,2$.相应地,有$4+2a+b=0,-2+a+b=0,b=0,-2-a+b=0,4-2a+b=0$.
经检验,有$a=-2,b=0$,此时$x=-2,0,1$,矛盾; $a=0,b=-4$,此时$x=-2,1$,满足题意; $a=2,b=0$,此时$x=2,-1$,满足题意; $a=0,b=2$,此时整数$x=-1,1$也满足.
综上, $(a,b)=(0,-4),(2,0)$或$(0,2)$.
end{solution}
egin{example}
2.在一次宴会上,有10对夫妻参加,将所有男士安排在一个有10个座位的圆桌旁,所有女士安排在另外一张也是10个座位的圆桌旁,且每位女士的座位相对位置和她的配偶相同,我们发现新冠病毒在与会者之间传播,传播途径如下: $A$为一名健康与会者,当且仅当其座位两侧及其配偶三人间至少有两人感染的情况下, $A$才会被感染.设宴会开始时的$20$人中有$S$人感染,病毒在与会者中传播,则最后可能使所有与会者都感染上的$S$的最小值为多少?
end{example}
egin{example}
求$frac{1}{4 imes 1^4+1}+frac{2}{4 imes 2^4+1}+frac{3}{4 imes 3^4+1}+cdots+frac{100}{4 imes 100^4+1}$的值.
end{example}
egin{example}
(2011年清华保送生)证明:对于任意的正整数$a$、$b$有
[
left( a,b
ight) =frac{1}{a}sum_{m=0}^{a-1}{sum_{n=0}^{a-1}{e^{frac{2pi imnb}{a}}}}.
]
end{example}
egin{solution}
设$mathrm{gcd}(a,b)=d,a=dx,b=dy,w=e^{2pi ifrac{y}{x}}$,其中$a,b,d,x,yin mathbb{Z}_+$,则$w^x=1$.
[
frac{1}{a}sum_{m=0}^{a-1}{sum_{n=0}^{a-1}{e^{frac{2pi imnb}{a}}}}=frac{1}{a}sum_{m=0}^{a-1}{sum_{n=0}^{a-1}{w^{mn}}}.
]
注意到$left( 1-w^m
ight) sum_{n=0}^{a-1}{w^{mn}}=1-w^{am}=0$.因此,当且仅当$m=0,x,2x,cdots,(d-1)x$时, $w^m=1$,此时$sum_{n=0}^{a-1}{w^{mn}}=a$.而当$m$取其他值时, $sum_{n=0}^{a-1}{w^{mn}}=0$.
综上所述,所求结果为$frac{1}{a}cdot da=d$.
end{solution}