切比雪夫最佳逼近直线

section{导数压轴题}

subsection{参变分离}

subsection{导数不等式}
%https://zhuanlan.zhihu.com/p/91032042
%https://zhuanlan.zhihu.com/p/51584482

egin{theorem}{函数不等式链}{1}
当$xgeq 0$时,
[
frac{x}{x+1}le frac{2x}{x+2}le ln left( x+1 ight) le frac{1}{2}left( x+1-frac{1}{x+1} ight) le x.
]
end{theorem}

subsection{设而不求:隐零点}

subsection{极值点偏移}
%https://zhuanlan.zhihu.com/p/32842987

egin{theorem}{指、对数平均不等式}{zdpjz}
当实数$a eq b$时,有
[e^{frac{a+b}{2}}<frac{e^a-e^b}{a-b}<frac{e^a+e^b}{2}.]
且
[sqrt{ab}<frac{a-b}{ln a-ln b}<frac{a+b}{2}.]
end{theorem}

egin{example}
(2013年陕西)已知函数$f(x)=e^x,xin mathbb{R}$.

(1)若直线$y=kx+1$与$f(x)$的反函数的图像相切,求实数$k$的值;

(2)设$x>0$,讨论曲线$y=f(x)$与曲线$y=mx^2\,(m>0)$公共点的个数;

(3)设$a<b$,比较$frac{f(a)+f(b)}{2}$与$frac{f(b)-f(a)}{b-a}$的大小,并说明理由.
end{example}
egin{solution}

end{solution}

egin{example}
(2016新课标1)已知函数$f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2$有两个零点.

(I)求$a$的取值范围;

(II)设$x_1,x_2$是$f(x)$的两个零点,证明: $x_1+x_2<2$.
end{example}
egin{solution}

end{solution}

egin{example}
(2018皖南八校第三次联考理科数学)
已知函数$f(x)=e^x-x^2-ax$有两个极值点$x_1,x_2\,(x_1<x_2)$.

(1)求$a$的取值范围;

(2)求证: $e^{x_1}+e^{x_2}>4$.
end{example}
egin{solution}
[frac{e^{x_1}-e^{x_2}}{x_1-x_2}=2<frac{e^{x_1}+e^{x_2}}{2}.]
end{solution}

egin{theorem}{Hermite-Hadamard不等式}{hhbds}
若函数$f(x)$在$[a,b]$上的二阶导数非负,则有:
[
fleft( frac{a+b}{2} ight) le frac{1}{b-a}int_a^b{fleft( x ight) dx}le frac{fleft( a ight) +fleft( b ight)}{2},
]
当且仅当$f(x)$是一次函数时取等号成立.
end{theorem}

egin{example}
(匈牙利, 1914)设$f(x)=ax^2+bx+c$, $a,b,c$为实数,如果对于所有适合$-1leq xleq 1$的$x$值,都有$-1leq f(x)leq 1$成立,则对这些$x$的值有$-4leq 2ax+bleq 4$.
end{example}

此题的背景是切比雪夫多项式的马尔科夫定理:如果具有实系数的$n$次多项式
[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+cdots+ a_nx^n]
对所有的$-1leq xleq 1$满足不等式
[-1leq f(x)leq 1.]
那么它的导函数满足不等式
[-n^2leq f'(x)leq n^2.]

虽然背景是高等的,但解法只用到一次函数$g(x)=2ax+b$的单调性、取值的技巧和不等式的放缩运算.
egin{solution}
$12$.
end{solution}
%切比雪夫多项式的马尔科夫定理，https://wenku.baidu.com/view/d0c9e2bbfd0a79563c1e720f.html

%https://zhuanlan.zhihu.com/p/105766114

subsection{切比雪夫多项式}
%https://zhuanlan.zhihu.com/p/105766114

利用三角函数$n$倍角公式
egin{align*}
cos(0)&=1,\
cos(x)&=cos x,\
cos(2x)&=2cos^2 x-1,\
cos(3x)&=4cos^3 x-3cos x,\
cos(4x)&=8cos^4 x-8cos^2 x+1,\
cos(5x)&=16cos^5 x-20cos^3 x+5cos x,\
end{align*}
可知$cos (n heta)$可以表示成$cos heta$的多项式, $T_n(x)=cos(ncdot arccos x)$是一个$n$次多项式,称为$n$次切比雪夫多项式,其中$xin [-1,1],nin mathbb{N}$.于是
egin{align*}
T_0(x) &=1,\
T_1(x) &=x,\
T_2(x) &=2x^2-1,\
T_3(x) &=4x^3-3x,\
T_4(x) &=8x^4-8x^2+1,\
T_5(x) &=16x^5-20x^3+5x,\
end{align*}

性质1. $T_n(x)$在$[-1,1]$中有$n$个不同的实根$x_k=cosfrac{(2k-1)pi}{2n},k=1,2,3,cdots,n$.

性质2. $T_n(x)$在$[-1,1]$中有$n+1$个点$x_k^ast=cosfrac{kpi}{n},k=0,1,2,3,cdots,n$,轮流取最大值$1$和最小值$-1$.例如:当$n=2$时, $x_k^ast=-1,0,1$.当$n=3$时, $x_k^ast=-1,-frac{1}{2},frac{1}{2},1$.

性质3. $T_n(x)$满足递推关系$T_0(x)=1,T_1(x) =x$,
[T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x),]
其母函数为
[sum_{n=0}^{infty}T_n(x)t^n=frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.]

定理.对任意$n$次首一多项式$P(x)$,设$M=max_{xin[-1,1]}|P(x)|$,则$M_{min}=frac{1}{2^{n-1}}$.

证明.引理:设$n$次首一多项式$Q(x)$的$n$个根$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$均属于$(-1,1)$.在$[-1,alpha_1),(alpha_1,alpha_2),cdots,
(alpha_{n-1},alpha_n),(alpha_n,1]$内各取一点$eta_0,eta_1,cdots,eta_n$,则对任意首一多项式$R(x)$,均有
[max_ {xin[-1,1]}|R(x)|geq min_ {0leq ileq n}|Q(eta_i)|.]

引理的证明: (反证法)设存在$R(x)$使得
[max_ {xin[-1,1]}|R(x)|< min_ {0leq ileq n}|Q(eta_i)| riangleq C.]
于是$R(x)in (-C,C),forall xin [-1,1]$.

考虑$T(x)=R(x)-Q(x)$,则数列$T(eta_0),T(eta_1),cdots,T(eta_n)$必定正负交错(如图),则$T_n$有至少$n$个根.

然而$R(x),Q(x)$均为首一多项式,故$T(x)equiv 0$.则$R(x)=Q(x)$,显然矛盾.

回到原题.设$T_n(x)$为$n$次切比雪夫多项式,令$Q(x)=frac{1}{2^{n-1}}T_n(x)$,则$Q(x)$的各零点$alpha_i=cosfrac{(2i-1)pi}{n}(i=1,2,cdots,n)$均属于$(-1,1)$.

在引理中取$eta_i=cosfrac{ipi}{n}(i=0,1,cdots,n)$,即得$Mgeq frac{1}{2^{n-1}}$,当$P(x)equiv Q(x)$时可取等.

egin{theorem}{}{}
设$f(x)$为一个$n$次多项式,首项为$ax^n$,定义域为$D$,值域为$I$,用$|D|$表示$D$的区间长度,则$frac{|I|}{2}geq 2^{1-2n}cdot |a|cdot |D|^n$.事实上,等号成立时, $frac{|I|}{2}$也就是$|f(x)|_{max}$的最小值.等号成立的条件为$f(x)$经过平移及伸缩变换使得定义域为$D$的$T_n$.
end{theorem}

egin{solution}
我们用$[a,b]$表示定义域,这样$|D|=b-a$.当$a=-1,b=1$时,我们已证明了多项式$T_n(x)$的范数为$frac{1}{2^{n-1}}$.为了求出它在任意区间$[a,b]$上的范数,必须采用把区间$aleq yleq b$映射到区间$-1leq xleq 1$的线性变换$x=frac{2}{b-a}y-frac{a+b}{b-a}$.此时我们得到多项式
[
pleft( y ight) =T_nleft( frac{2}{b-a}y-frac{a+b}{b-a} ight) =left( frac{2}{b-a}y-frac{a+b}{b-a} ight) ^n+cdots
]
它的最高次项系数非$1$而为$frac{2^n}{(b-a)^n}$.把$p(y)$用这个数来除,我们得到在区间$[a,b]$上的切比雪夫多项式
[
widehat{T}_nleft( y ight) =frac{left( b-a ight) ^n}{2^n}T_nleft( frac{2}{b-a}y-frac{a+b}{b-a} ight).
]
它的最高项系数已为$1$了.易见,它的范数等于
[
lVert widehat{T}_nleft( y ight) Vert =frac{left( b-a ight) ^n}{2^n}lVert T_nleft( y ight) Vert =frac{left( b-a ight). ^n}{2^{2n-1}}
]
最后乘上首项的系数$a$,我们便得到了
[frac{|I|}{2}geq 2^{1-2n}cdot |a|cdot |D|^n.]
end{solution}

对于切比雪夫最佳逼近直线,有如下常用结论:
egin{theorem}{切比雪夫最佳逼近直线理论}{}
若函数$f(x)$在区间$[m,n]$上具有二阶导数,且$f''(x)$在区间$[m,n]$上不变号,则$f(x)$的最佳逼近直线为
[
gleft( x ight) =kleft( x-frac{m+c}{2} ight) +frac{fleft( m ight) +fleft( c ight)}{2},
]
其中$k=frac{fleft( m ight) -fleft( n ight)}{m-n}$,实数$c$的值由方程$f'(c)=frac{fleft( m ight) -fleft( n ight)}{m-n}$解得.
end{theorem}

subsection{切比雪夫最佳逼近直线}

%https://zhuanlan.zhihu.com/p/130443282

%https://zhuanlan.zhihu.com/p/105766114

egin{example}
(2016年天津高考)设函数$f(x)=x^3-ax-b,xin mathbb{R}$,其中$a$、$bin mathbb{R}$.

(1)求$f(x)$的单调区间;

(2)若$f(x)$存在极值点$x_0$,且$f(x_1)=f(x_0)$,其中$x_1 eq x_0$.求证: $x_1+2x_0=0$;

(3)设$a>0$,函数$g(x)= |f(x)|$,求证: $g(x)$在区间$[-1,1]$上的最大值不小于$frac{1}{4}$.
end{example}
%https://www.zhihu.com/question/345947963/answer/1046248071
egin{solution}

end{solution}