1.求证:切比雪夫-拉盖尔(Chebyshev-Laguerre)多项式
[L_{n}(x)=mathrm{e}^{x} frac{mathrm{d}^{n}}{mathrm{d} x^{n}}left(x^{n} mathrm{e}^{-x}
ight)]
有$n$个不同的零点.
2.求证:切比雪夫-埃尔米特(Chebyshev-Hermite)多项式
[H_{n}(x)=(-1)^{n} frac{1}{n !} e^{frac{x^{2}}{2}} frac{d^{n}}{d x^{n}}left(e^{-frac{x^{2}}{2}}
ight)]
有$n$个不同的零点.
1.注意到$x=0$是$L_n(x)$的$n$重零点,而且$lim _{x ightarrow+infty} frac{mathrm{d}^{k}}{mathrm{d} x^{k}}left(x^{n} mathrm{e}^{-x} ight)=0\,(k=1,2,cdots,n)$.
2.注意到$lim _{x ightarrow pm infty} frac{mathrm{d}^{k}}{mathrm{d} x^{k}}left(mathrm{e}^{-frac{x^{2}}{2}} ight)=0\,(k=1,2, cdots, n)$.