Summary: gcd最大公约数、lcm最小公倍数算法

欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用语言描述为：

1 int Gcd(int a, int b)
2 {
3     if(b == 0)
4         return a;
5     return Gcd(b, a % b);
6 }

lcm最小公倍数乘以 gcd最大公约数等于a*b，可以利用这个定理来通过gcd来计算lcm

 1     private static int gcd(int m, int n) {
 2         if (m < 0) m = -m;
 3         if (n < 0) n = -n;
 4         if (0 == n) return m;
 5         else return gcd(n, m % n);
 6     }
 7 
 8     // return lcm(|m|, |n|)
 9     private static int lcm(int m, int n) {
10         if (m < 0) m = -m;
11         if (n < 0) n = -n;
12         return m * (n / gcd(m, n));    // parentheses important to avoid overflow
13     }