exgcd

P1516 青蛙的约会

链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1516

题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入输出格式

输入格式：

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L

其中0<x≠y < =2000000000，0 < m、n < =2000000000，0 < L < =2100000000。

输出格式：

输出碰面所需要的天数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"。

输入输出样例

输入样例#1：

1 2 3 4 5

输出样例#1：

说明

各个测试点2s

题解：(x + m * t )%L = (y+n*t)%L <=> (m-n)*t + L*y = y - x, 然后exgcd,注意要求出最小正整数解

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>

using namespace std;
#define maxn 2100000000 +5
#define ll long long
ll nx, ny;
void exgcd(ll &nx, ll &ny, ll a, ll b, ll &d){
    if(b == 0){
        d = a, nx = 1, ny = 0;
        return;
    }

    ll x0, y0;
    exgcd(x0, y0, b, a%b, d);
    nx = y0;
    ny = x0 - (a/b) * y0;
}

int main()
{
    ll x,y,d,m,n,L;
    cin>>x>>y>>m>>n>>L;
    ll a = n - m, b = L, c = x - y;
    exgcd(nx, ny, a, b, d);
    if(c % d)cout<<"Impossible"<<endl;
    else {
        ll nb = b/d;
        if(nb > 0)nx = (c/d*nx%nb + nb) % nb;
        else nx = (c/d*nx%(-nb) - nb) % (-nb);
        cout<<nx<<endl;
    }
    return 0;
}

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1407: [Noi2002]Savage

Time Limit: 5 Sec Memory Limit: 64 MB
链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1407

Description

Input

第1行为一个整数N(1<=N<=15)，即野人的数目。

第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。

(1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=10^6 )

Output

仅包含一个数M，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且M不大于10^6。

Sample Input

3
1 3 4
2 7 3
3 2 1

Sample Output

6
//该样例对应于题目描述中的例子。

题解：题中求的是 (Ci + Pi*t) % L != (Cj + Pj*t) % L, 而我们只能解决等于的情况，变形得：(Pi-Pj) * t + L*y = Cj -Ci ,；

若解得t > min(Li, Lj)或无解，则说明死了才能碰到或永远碰不到；对于L可以枚举

写的时候把特解的公式记错了O__O"…

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
#define ll long long
int c[20],p[20],l[20];
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(!b){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int x0, y0;
    int d = exgcd(b, a%b, x0, y0);
    x = y0;
    y = x0 - (a/b)*y0;
    return d;
}
int main()
{
    int n, mx = 0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d%d%d",&c[i],&p[i],&l[i]);
        mx = max(mx, c[i]);
    }
    while(mx){
        int f = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){  
            for(int j = i+1; j <= n; j++){
                int a = p[i] - p[j], b = mx, g = c[j] - c[i];
                int xx, yy;
                int d = exgcd(a, b, xx, yy);
                if(g%d)continue;
                int dx = b/d;
                //printf("%d %d %d %d %d %d %d
",i,j,a,b,xx,g,dx);
                if(dx>0)xx = (g/d*xx%dx + dx)%dx;
                else xx = (g/d*xx%(-dx) - dx)%(-dx);
                if(xx <= min(l[i],l[j])){f=1;break;}
            }
            if(f)break;
        }
        if(f)mx++;
        else break;
    }
    printf("%d
",mx);
    return 0;
}

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