#Week7 Neural Networks : Learning

一、Cost Function and Backpropagation

神经网络的损失函数：

[J(Theta) = - frac{1}{m} sum_{i=1}^m sum_{k=1}^K left[y^{(i)}_k log ((h_Theta (x^{(i)}))_k) + (1 - y^{(i)}_k)log (1 - (h_Theta(x^{(i)}))_k) ight] + frac{lambda}{2m}sum_{l=1}^{L-1} sum_{i=1}^{s_l} sum_{j=1}^{s_{l+1}} ( Theta_{j,i}^{(l)})^2 ]

这个cost function是在logistic regression基础上演变而来，只是神经网络有很多输出结点，而logistic regression只有一个输出结点，所以这个cost function只是把所有的K个输出结点的损失函数进行累加。

得到cost function后，为了寻找使得(J( heta))最小的那组参数( heta)，我们需要知道(J( heta))关于每个( heta)的偏导数，而后向传播算法可以帮助我们计算偏导数：

对于每个训练样本，先利用forward propagation计算每一层的(a)：

接着利用样本真实标签(y^{(t)})计算最后一层的误差值；

之后从右向左计算每一层（输入层除外）的误差：

这样每个样本一次正向、一次反向来更新误差矩阵：

向量化表示：

最后，就可以得到偏导数：

二、Backpropagation in Pratice

为了使用fminunc等高级的优化方法来求得cost function的最小值，所以将( heta)这个矩阵展成向量传入fminunc，完成后可以通过reshape从向量中提取( heta^{(1)}、 heta^{(2)})等：

为了确保我们使用Backpropagation求得的偏导数的正确性，可以使用Gradient Checking（很慢）来检验：
根据偏导数定义：

[dfrac{partial}{partialTheta_j}J(Theta) approx dfrac{J(Theta_1, dots, Theta_j + epsilon, dots, Theta_n) - J(Theta_1, dots, Theta_j - epsilon, dots, Theta_n)}{2epsilon} ]

[一般epsilon=10^{-4} ]

通过将这种方式计算的偏导数与之前Backpropagation求得的偏导数比较，即可得知Backpropagation的正确性。

之前在Linear Regression和Logistic Regression，我们可以用全0来初始化( heta)，但在神经网络中，这样做会有问题，所以采用随机初始化：

最后，从整体捋一遍流程：
1、选择网络结构：

2、训练神经网络：

对每一个训练样本：