定义和简单性质
欧拉函数在OI中是个非常重要的东西,不知道的话会吃大亏的.
欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.
对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1).
欧拉函数的一些性质:
1.对于素数p, φ(p)=p-1，对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1
欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数.
2.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.
φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).
3.除了N=2,φ(N)都是偶数.
4.设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).
根据性质2,我们可以在O(sqrt(n))的时间内求出一个数的欧拉函数值.
如果我们要求1000000以内所有数的欧拉函数,怎么办.
上面的方法复杂度将高达O(N*sqrt(N)).
我们来看看线性筛法的程序:
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; int euler[100]; int Max = 100; void Init(){ euler[1]=1; for(int i=2;i<Max;i++) euler[i] = i; for(int i = 2;i < Max;i++) if(euler[i] == i) for(int j = i;j < Max;j += i) //注意，j += i euler[j] = euler[j] / i * (i - 1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 } int main() { int a; cin>>a; Init(); cout<<euler[a]; return 0; }
妙啊！！！！！！！！！！！
欧拉函数φ
欧拉定理是用来阐述素数模下，指数同余的性质。
欧拉定理：对于正整数N，代表小于等于N的与N互质的数的个数，记作φ(N)
例如φ(8)=4，因为与8互质且小于等于8的正整数有4个，它们是：1,3,5,7
欧拉定理还有几个引理，具体如下：
①：如果n为某一个素数p，则φ(p)=p-1;
①很好证明：因为素数p的质因数只有1和它本身，p和p不为互质，所以φ(p)=p-1；
②：如果n为某一个素数p的幂次，那么φ(p^a)=(p-1)*p^(a-1)；
②因为比p^a小的数有p^a-1个，那么有p^(a-1)-1个数能被p所整除（因为把1~p^a-1的p的倍数都筛去了）
所以φ(p)=p^a-1-(p^(a-1)-1)=(p-1)*p^(a-1)
③：如果n为任意两个数a和b的积，那么φ(a*b)=φ(a)*φ(b)
③因为比a*b小的数有a*b-1个，条件是a与b互质
那么可以知道，只有那些既满足a与其互质且既满足b与其互质的数满足条件。
根据乘法原理，这样的数可以互相组合，那么就有φ(a)*φ(b)个
所以可以得知φ(a*b)=φ(a)*φ(b) (注意条件必须满足a和b互质)
④：设n=(p1^a1)*(p2^a2)*……*(pk^ak) (为N的分解式)
那么φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*……*(1-1/pk)
④因为各个分解完的p1、p2、……pk均为素数，所以它们均为互质的
每次再刨去它们本身，乘起来
剩下的运用容斥原理，再根据引理②和引理③就可以得出
其实欧拉定理是费马小定理的推论。。。
欧拉定理：a^(φ(m))同余1(mod m) (a与m互质)
费马小定理是数论中的一个定理。其内容为假如a是一个整数，p是一个质数的话，那么:ap = a(mod p)
假如a不是p的倍数的话，那么这个定理也可以写成:
ap − 1 = 1(mod p)
