FZYZ-2071 A Simple Math Problem IX

P2071 -- A Simple Math Problem IX

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状态：Accepted 标签：数学问题-博弈论无无

Description

给定a,b,n，保证a≥2，b≥1，a^b≤n。两个人在玩游戏，每个人每次可以把a加1，或者把b加1，但是不能违反a^b<=n，无法再进行操作的人就输掉了这一场游戏。

假设两个人都足够聪明，按照最优策略进行游戏，问先手是否有必胜策略。

Input Format

第一行两个正整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行两个正整数 a 和 b。保证 a≥2，b≥1，a^b≤n。

Output Format

m 行，如果对于这一对数字 a 和 b，如果先手有必胜策略，输出 “Yes”。否则输出 “No” （不含引号）

Sample Input

Sample Output

Yes
No
No

Hint

对于10%的数据，n=2

对于70%的数据，n<=1000

对于100%的数据，n<=10^9，m<=10^5

题解

不难想到，状态(a,b)可以转移到状态(a + 1, b)或者(a, b + 1)。设F[a][b]为该局面下先手胜败，1表示必胜，0表示必败，那么F[a][b] = (F[a + 1][b] & F[a][b +１]) ^ 1。但是数据范围太大，该怎么办呢？

首先，a和b必须满足a^b <= n，即log (a, n) >= b，又因为a >= 2，所以log (2, n) >= log(a, n)，所以b <= log (2, n) <= 30。

其次，a^b <= n还可以推出当b >= 2时，a <= sqrt(n)，这也是一个不大的数字。当b=1时，即便n很大，但随着a的递增，可供选择的b会逐渐减少，最后转移会变成一条链，所以根据奇偶性判断就好。

代码

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <cmath>
 4 #include <cstring>
 5 #define MAXN 50010
 6 #define MAXM 50
 7 using namespace std;
 8 
 9 int N, M;
10 int j;
11 long long X;
12 int A, B;
13 int Lim;
14 bool F[MAXN][MAXM];
15 
16 char ch; int aa, bb;
17 int Scan() {
18     while(ch=getchar(),(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-');
19     ch=='-' ? (bb=1,aa=0) : (aa=ch-48,bb=0);
20     while(ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9')aa=aa*10+ch-48;
21     if(bb)aa=-aa;
22     return aa;
23 }
24 
25 int main() {
26     memset(F, 1, sizeof(F)); //F必须开bool 
27     N = Scan();
28     Lim = int (sqrt(N));
29     if ((Lim + N) & 1) F[Lim + 1][1] = 0;
30     for (int i = Lim; i >= 2; --i) {
31         for (j = 0, X = 1; X <= N; X *= i, ++j); //X可能会爆int 
32         for (--j; j; --j) F[i][j] = (F[i + 1][j] & F[i][j + 1]) ^ 1;
33     }
34     for (M = Scan(); M; --M) {
35         A = Scan(); B = Scan();
36         if (B == 1 && A > Lim) {
37             if ((N + A) & 1) printf("Yes
");
38             else printf("No
");
39         }
40         else {
41             if (F[A][B]) printf("Yes
");
42             else printf("No
");
43         }
44     }
45 }