【原创】SPFA判负环

【定义与概念】

给定一张有向图，若其中存在一个环的所有权值之和为负数，这个环称为负环。

【算法实现】

当然，负环的求解可以暴搜，但是时间复杂度就难以入眼了，我们回到求解单源最短路径算法上面，看看它们能否求解。

我们知道

各种最短路算法
算法名称	能否处理负边	时间复杂度
Dijkstra	不能，负权的存在使得最短路径不一定最短	O(n^2)
堆优化Dijkstra	不能，如上	O(mlogn)
Bellman-Ford	能	O(nm)
SPFA	能	O(km)

我们主要使用SPFA，讲一下SPFA判断负环。

SPFA有三种以上的方法判断负环：

设cnt[x]表示1~x的最短路径包含边数，cnt[1]=0。当收敛边权（判断三角形不等式）时，更新cnt[y]=cnt[x]+1。如果某时cnt[x]>=边的总数m，说明存在负环。
记录每个点入队的次数，如果某个点入队次数超过点的总数n，说明存在最小环。
卡时判负环，判负环最骚的操作。给队列总长度做限制，超过限制说明有环。至于这个限制具体是什么，请去问玄学，我不知道。

给出第一、二种解法的参考吧。

拿道板子题出来。

P3385 【模板】负环

注意这道题鬼畜的输出。。。

这是第一种： 573ms / 5.04MB AC

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cmath>
 4 #include<queue>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cstring>
 7 #include<vector>
 8 #include<ctime>
 9 #define N 10010
10 using namespace std;
11 priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;
12 int head[N],tot,n,m,d[N],cnt[N];
13 struct rec{
14     int next,ver,edge;
15 }g[N<<1];
16 void add(int x,int y,int val){
17     g[++tot].ver=y,g[tot].edge=val;
18     g[tot].next=head[x],head[x]=tot;
19 }
20 bool spfa(int x)
21 {
22     memset(d,0x3f,sizeof(d));
23     memset(cnt,0,sizeof(cnt));
24     d[x]=0;cnt[x]=1;
25     q.push(x);
26     while(q.size())
27     {
28         int index=q.top();q.pop();
29         for(int i=head[index];i;i=g[i].next){
30             int y=g[i].ver,z=g[i].edge;
31             if(d[y]>d[index]+z){
32                 d[y]=d[index]+z;
33                 cnt[y]=cnt[index]+1;
34                 if(cnt[y]>=m) return 1;
35                 q.push(y);
36             }
37         }
38     }
39     return 0;
40 }
41 int main()
42 {
43     int t;
44     cin>>t;
45     while(t--)
46     {
47         memset(g,0,sizeof(g));
48         memset(head,0,sizeof(head));
49         if(!q.empty()) q.pop();
50         tot=0;
51         scanf("%d%d",&n,&m);
52         for(int i=1;i<=m;i++){
53             int x,y,val;
54             scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);
55             if(val<0) add(x,y,val);
56             else add(x,y,val),add(y,x,val);
57         }
58         if(spfa(1)) cout<<"YE5"<<endl;
59         else cout<<"N0"<<endl;
60     }
61     return 0;
62 }

这是第二种：1965ms / 9.04MB 91pnts

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cmath>
 4 #include<queue>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cstring>
 7 #include<vector>
 8 #define N 10010
 9 using namespace std;
10 priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;
11 int head[N],tot,n,m,d[N],cnt[N];
12 struct rec{
13     int next,ver,edge;
14 }g[N<<1];
15 void add(int x,int y,int val){
16     g[++tot].ver=y,g[tot].edge=val;
17     g[tot].next=head[x],head[x]=tot;
18 }
19 bool spfa(int x)
20 {
21     memset(v,0,sizeof(v));
22     memset(d,0x3f,sizeof(d));
23     memset(cnt,0,sizeof(cnt));
24     d[x]=0;cnt[x]=1;
25     q.push(x);
26     while(q.size())
27     {
28         int index=q.top();q.pop();
29         for(int i=head[index];i;i=g[i].next){
30             int y=g[i].ver,z=g[i].edge;
31             if(d[y]>d[index]+z){
32                 d[y]=d[index]+z; 
33                 if(cnt[y]>=n) return 1;
34                 cnt[y]++,q.push(y),v[y]=1;
35             }
36         }
37     }
38     return 0;
39 }
40 int main()
41 {
42     int t;
43     cin>>t;
44     while(t--)
45     {
46         memset(g,0,sizeof(g));
47         memset(head,0,sizeof(head));
48         if(!q.empty()) q.pop();
49         tot=0;
50         scanf("%d%d",&n,&m);
51         for(int i=1;i<=m;i++){
52             int x,y,val;
53             scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);
54             if(val<0) add(x,y,val);
55             else add(x,y,val),add(y,x,val);
56         }
57         if(spfa(1)) cout<<"YE5"<<endl;
58         else cout<<"N0"<<endl;
59     }
60     return 0;
61 }