《307. 区域和检索

给定一个整数数组 nums，求出数组从索引 i 到 j (i ≤ j) 范围内元素的总和，包含 i, j 两点。

update(i, val) 函数可以通过将下标为 i 的数值更新为 val，从而对数列进行修改。

示例:

Given nums = [1, 3, 5]

sumRange(0, 2) -> 9
update(1, 2)
sumRange(0, 2) -> 8

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-mutable
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线段树在百度百科上的定义：

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。

使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。

由于该题目有相当多的对数组修改的操作：

（1）如果直接在原有的数据结构，即数组上进行修改，每一次修改将花费O(1), 每一次的区间和输出都将花费O(n)的时间复杂度

（2）但当我们建立起一个区间和的线段树，每次修改和输出都将花费O(logn)的时间复杂度

用二叉树结构来组织线段树：

class NumArray {
    TreeNode* root;
    vector<int> num;
    int n;
public:

    NumArray(vector<int>& nums) {
        n=nums.size()-1;
        num=nums;
        if(n>=0)
            root=creatTree(nums,0,n); //针对初始化时数组为[[]]
    }

    TreeNode* creatTree(vector<int>& nums,int x, int y )
    {
        if(x==y)
        {
            TreeNode* tmp=new TreeNode(nums[x]);
            return tmp;
        }
        else
        {
            int sum=0;
            for(int i=x;i<=y;i++)
            {
                sum+=nums[i];
            }
            TreeNode* tmp = new TreeNode(sum);
            int mid=(x+y)/2;
            tmp->left=creatTree(nums,x,mid);
            tmp->right=creatTree(nums,mid+1,y);
            return tmp;
        }
    }
    
    void update(int i, int val) {
        TreeNode* r=root;
        int leftBorder=0,rightBorder=n;
        while(r)
        {
            r->val=r->val-num[i]+val;
            int mid = (leftBorder+rightBorder)/2;
            if(i<=mid)
            {
                r=r->left;
                rightBorder=mid;
            }
            else
            {
                r=r->right;
                leftBorder=mid+1;
            }
        }
        num[i]=val;
    }
    int sum(TreeNode* r, int i, int j, int leftBorder, int rightBorder)
    {
        if(r==NULL)return 0;
        if(i==leftBorder&&j==rightBorder)return r->val;
        int mid = (leftBorder+rightBorder)/2;
        if(i<=mid&&j>mid)
        {
            return sum(r->left, i, mid, leftBorder, mid)+sum(r->right, mid+1, j, mid+1, rightBorder);
        }
        else if(i<=mid)
        {
            return sum(r->left, i, j, leftBorder, mid);
        }
        else if(i>mid)
        {
            return sum(r->right, i, j, mid+1, rightBorder);
        }
        return INT_MAX;
    }
    int sumRange(int i, int j) {
        TreeNode* r=root;
        return sum(r, i ,j, 0, n);
    }
};

/**
 * Your NumArray object will be instantiated and called as such:
 * NumArray* obj = new NumArray(nums);
 * obj->update(i,val);
 * int param_2 = obj->sumRange(i,j);
 */

用树状数组来组织线段树：

class NumArray {
    vector<int> segmTree;;
    int n;
public:
    NumArray(vector<int>& nums) {
        n=nums.size()-1;
        if(n >= 0)
            buildSegmTree(nums,0,0,n);
    }
　　　//自底向上建树
    void buildSegmTree(vector<int>& nums,int cur, int begin, int end )
    {
        while(cur >= segmTree.size())segmTree.push_back(0);
        if(begin == end)
        {
            segmTree[cur] = nums[begin];
        }
        else
        {
            int mid = (begin + end) / 2;
            int left = cur * 2 + 1;　　　　//左子区间下标
            int right = cur * 2 + 2;　　　　//右子区间下标
            buildSegmTree(nums,left,begin,mid);
            buildSegmTree(nums,right,mid+1,end);
            segmTree[cur] = segmTree[left] + segmTree[right];
        }
    }
　　//自底向上更新
    void updateSegmTree(int cur, int begin, int end, int i, int val)
    {
        if(begin > end)return;
        if(begin == end)
        {
            segmTree[cur]=val;
            return;
        }
        int mid = (begin + end) / 2;
        int left = 2 * cur + 1;
        int right = 2 * cur +2;
        if(i <= mid && i >= begin)
        {
            updateSegmTree(left, begin, mid, i, val);
        }
        else
        {
            updateSegmTree(right, mid+1, end, i, val);
        }
        segmTree[cur] = segmTree[left] + segmTree[right];
    }
    void update(int i, int val) {
        updateSegmTree(0, 0, n, i, val);
    }
　　//自顶向下找区间
    int sum( int cur, int i, int j, int begin, int end)
    {
        if(i > end || j < begin)return 0;
        if(i <= begin && j >= end) return segmTree[cur];
        int mid = (begin + end) / 2;
        int left = cur*2 + 1;
        int right = cur*2 + 2;
        return sum(left, i, j, begin, mid)+sum(right, i, j, mid+1, end);
    }
    int sumRange(int i, int j) {
        return sum(0, i ,j, 0, n);
    }
};