【BZOJ-4316】小C的独立集仙人掌DP + 最大独立集

4316: 小C的独立集

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Description

图论小王子小C经常虐菜，特别是在图论方面，经常把小D虐得很惨很惨。

这不，小C让小D去求一个无向图的最大独立集，通俗地讲就是：在无向图中选出若干个点，这些点互相没有边连接，并使取出的点尽量多。

小D虽然图论很弱，但是也知道无向图最大独立集是npc，但是小C很仁慈的给了一个很有特点的图：图中任何一条边属于且仅属于一个简单环，图中没有重边和自环。小C说这样就会比较水了。

小D觉得这个题目很有趣，就交给你了，相信你一定可以解出来的。

Input

第一行，两个数n， m，表示图的点数和边数。

第二~m+1行，每行两个数x，y，表示x与y之间有一条无向边。

Output

输出这个图的最大独立集。

Sample Input

5 6
1 2
2 3
3 1
3 4
4 5
3 5

Sample Output

HINT

100% n <=50000, m<=60000

Source

Solution

作为切SDOI2010Area的铺垫

仙人掌DP求最大独立集

最大独立集：感性的描述就是，一个图中，相邻点不能同时选，选出来最(多/点权总和最大)的点集

对于一般图,往往采用转化成补图求最大团

但基于树和仙人掌可以利用DP求解 (树形DP求最大独立集,详见 CodeVS1380没有上司的舞会)

至于仙人掌,就是树+基环,且强连通(描述简陋,垃圾),详见下:

仙人掌DP的话,与树形DP同理,对于树边,可以直接进行树形DP,对于环,考虑单独处理,即单独DP,DP方式和树形DP一样

dp[x][0/1]表示 (选/不选)X节点的最优答案

转移显而易见,至于对环的考虑方法,可以采用Tarjan求强连通分量的思路,利用low和dfn进行判断更多详见某论文

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define maxn 100010
struct EdgeNode{int next,to;}edge[maxn<<2];
int head[maxn],cnt;
void add(int u,int v) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v;}
void insert(int u,int v) {add(u,v); add(v,u);}
int n,m,ans,tot;
int dp1[maxn][2],dp2[maxn][2],ring[maxn],fa[maxn],dfn[maxn],low[maxn],t,deep[maxn];
void CactusDP(int st,int tt)
{
    ring[0]=st; ring[1]=tt; int zz=1;
    while (ring[zz]!=st) {ring[zz+1]=fa[ring[zz]]; zz++;}
    dp2[0][0]=dp2[0][1]=0;
    for (int i=1; i<=zz; i++)
        dp2[i][1]=dp2[i-1][0]+dp1[ring[i]][1],
        dp2[i][0]=max(dp2[i-1][0],dp2[i-1][1])+dp1[ring[i]][0];
    int tmp=dp2[zz][0];
    dp2[0][0]=-0x7fffffff;
    for (int i=1; i<=zz; i++)
        dp2[i][1]=dp2[i-1][0]+dp1[ring[i]][1],
        dp2[i][0]=max(dp2[i-1][0],dp2[i-1][1])+dp1[ring[i]][0];
    dp1[st][0]=tmp; dp1[st][1]=dp2[zz][1];
}
void TreeDP(int now)
{
    dfn[now]=low[now]=++t;
    dp1[now][1]=1; dp1[now][0]=0;
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=fa[now])
            {
                if (deep[edge[i].to]) {low[now]=min(dfn[edge[i].to],low[now]); continue;}
                fa[edge[i].to]=now;
                deep[edge[i].to]=deep[now]+1;
                TreeDP(edge[i].to);
                if (low[edge[i].to]>dfn[now]) 
                    dp1[now][1]+=dp1[edge[i].to][0],dp1[now][0]+=max(dp1[edge[i].to][1],dp1[edge[i].to][0]);
                low[now]=min(low[now],low[edge[i].to]);
            }
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=fa[now] && low[edge[i].to]==dfn[now] && deep[edge[i].to]!=deep[now]+1)
            CactusDP(now,edge[i].to);
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for (int u,v,i=1; i<=m; i++) u=read(),v=read(),insert(u,v);
    for (int i=1; i<=n; i++)
        if (!dfn[i]) {deep[i]=1; fa[i]=i; TreeDP(i); ans+=max(dp1[i][0],dp1[i][1]);}//为了防止出现仙人掌森林的情况QAQ
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}