【BZOJ-2440】完全平方数容斥原理 + 线性筛莫比乌斯反演函数 + 二分判定

2440: [中山市选2011]完全平方数

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9， T ≤ 50

Source

Solution

首先想到容斥，但是询问需要涉及x之前有多少满足的数，显然不能枚举，不过可以二分

二分x，那么涉及求满足条件的数的个数，考虑利用莫比乌斯反演函数的性质，计算质数的平方的倍数（有重复所以利用莫比乌斯函数）

判定一下左右段卡卡就出来了

根据容斥原理可知对于sqrt(x)以内所有的质数有

• x以内的无平方因子数

•=0个质数乘积的平方的倍数的数的数量(1的倍数)

•-每个质数的平方的倍数的数的数量(9的倍数,25的倍数,...)

•+每2个质数乘积的平方的倍数的数的数量(36的倍数,100的倍数,...)-...

坑点：

check中计算的时候会爆int，注意开longlong（一开始真的没注意到）

注意二分的范围（这道题完全可以1~2*K）

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
int T,K;
int prime[100010],tot,mu[100010];bool flag[100010];
void Prework(int x)
{
    flag[1]=1; mu[1]=1;
    for (int i=2; i<=x; i++)
        {
            if (!flag[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
            for (int j=1; j<=tot&&i*prime[j]<=x; j++)
                {
                    flag[i*prime[j]]=1;
                    if (!(i%prime[j])) {mu[i*prime[j]]=0; break;}
                        else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                }
        }
}
long long check(long long x)
{
    long long re=0; int t=sqrt(x);
    for (int i=1; i<=t; i++) re+=mu[i]*x/(i*i);
    return re;
}
int main()
{
    T=read(); Prework(50000);
    while (T--)
        {
            K=read();
            long long l=1,r=2*K;
            while (l<=r)
                {
                    int mid=(l+r)>>1;
                    if (check(mid)<K) l=mid+1;
                        else r=mid-1;
                }
            printf("%lld
",l);
        }
    return 0;
}

垃圾DaD3zZ,忘开longlong,TLE成狗