线段树区间更新操作及Lazy思想(详解)

此题题意很好懂：

给你N个数，Q个操作，操作有两种，‘Q a b ’是询问a~b这段数的和，‘C a b c’是把a~b这段数都加上c。

需要用到线段树的，update:成段增减，query:区间求和

介绍Lazy思想：lazy－tag思想，记录每一个线段树节点的变化值，当这部分线段的一致性被破坏我们就将这个变化值传递给子区间，大大增加了线段树的效率。

在此通俗的解释我理解的Lazy意思，比如现在需要对[a,b]区间值进行加c操作，那么就从根节点[1,n]开始调用update函数进行操作，如果刚好执行到一个子节点，它的节点标记为rt，这时tree[rt].l== a && tree[rt].r == b 这时我们可以一步更新此时rt节点的sum[rt]的值，sum[rt] += c* (tree[rt].r - tree[rt].l + 1)，注意关键的时刻来了，如果此时按照常规的线段树的update操作，这时候还应该更新rt子节点的sum[]值，而Lazy思想恰恰是暂时不更新rt子节点的sum[]值，到此就return，直到下次需要用到rt子节点的值的时候才去更新，这样避免许多可能无用的操作，从而节省时间。

下面通过具体的代码来说明之。

在此先介绍下代码中的函数说明：

<span class="com">#define</span><span class="pln"> lson l</span><span class="pun">,</span><span class="pln">m</span><span class="pun">,</span><span class="pln">rt</span><span class="pun"><<</span><span class="lit">1</span><span class="pln">
</span><span class="com">#define</span><span class="pln"> rson m</span><span class="pun">+</span><span class="lit">1</span><span class="pun">,</span><span class="pln">r</span><span class="pun">,</span><span class="pln">rt</span><span class="pun"><<</span><span class="lit">1</span><span class="pun">|</span><span class="lit">1</span>

宏定义左儿子lson和右儿子rson，貌似用宏的速度要慢。

PushUp(rt)：通过当前节点rt把值递归向上更新到根节点

PushDown(rt)：通过当前节点rt递归向下去更新rt子节点的值

rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

1 __int64 sum[N<<2],add[N<<2];
2 struct Node
3 {
4     int l,r;
5     int mid()
6     {
7         return (l+r)>>1;
8     }
9 } tree[N<<2];

这里定义数据结构sum用来存储每个节点的子节点数值的总和，add用来记录该节点的每个数值应该加多少

tree[].l tree[].r分别表示某个节点的左右区间，这里的区间是闭区间

下面直接来介绍update函数，Lazy操作主要就是用在这里

 1 void update(int c,int l,int r,int rt)//表示对区间[l,r]内的每个数均加c，rt是根节点
 2 {
 3     if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)
 4     {
 5         add[rt] += c;
 6         sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1);
 7         return;
 8     }
 9     if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;
10     PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
11     int m = tree[rt].mid();
12     if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);
13     else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);
14     else
15     {
16         update(c,l,m,rt<<1);
17         update(c,m+1,r,rt<<1|1);
18     }
19     PushUp(rt);
20 }

if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r) 这里就是用到Lazy思想的关键时刻
正如上面说提到的，这里首先更新该节点的sum[rt]值，然后更新该节点具体每个数值应该加多少即add[rt]的值，注意此时整个函数就运行完了，直接return，而不是还继续向子节点继续更新，这里就是Lazy思想，暂时不更新子节点的值。

那么什么时候需要更新子节点的值呢？答案是在某部分update操作的时候需要用到那部分没有更新的节点的值的时候，这里可能有点绕口。这时就掉用PushDown()函数更新子节点的数值。

 1 void PushDown(int rt,int m)
 2 {
 3     if(add[rt])
 4     {
 5         add[rt<<1] += add[rt];
 6         add[rt<<1|1] += add[rt];
 7         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));
 8         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);
 9         add[rt] = 0;//更新后需要还原
10     }
11 }

PushDown就是从当前根节点rt向下更新每个子节点的值，这段代码读者可以自己好好理解，这也是Lazy的关键。

下面再解释query函数，也就是用这个函数来求区间和

 1 __int64 query(int l,int r,int rt)
 2 {
 3     if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)
 4     {
 5         return sum[rt];
 6     }
 7     PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
 8     int m = tree[rt].mid();
 9     __int64 res = 0;
10     if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);
11     else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);
12     else
13     {
14        res += query(l,m,rt<<1);
15        res += query(m+1,r,rt<<1|1);
16     }
17     return res;
18 }

第一个if还是区间的判断和前面update的一样，到这里就可以知道答案了，所以就直接return。

接下来的查询就需要用到rt子节点的值了，由于我们用了Lazy操作，这段的数值还没有更新，因此我们需要调用PushDown函数去更新之，满足if(add[rt])就说明还没有更新。

到这里整个Lazy思想就算介绍结束了，可能我的语言组织不是很好，如果有不理解的地方可以给我留言，我再解释大家的疑惑。

PS：今天总算是对线段树入门了。

附上此题的代码：

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 using namespace std;
  4 const int N = 100005;
  5 #define lson l,m,rt<<1
  6 #define rson m+1,r,rt<<1|1
  7 
  8 __int64 sum[N<<2],add[N<<2];
  9 struct Node
 10 {
 11     int l,r;
 12     int mid()
 13     {
 14         return (l+r)>>1;
 15     }
 16 } tree[N<<2];
 17 
 18 void PushUp(int rt)
 19 {
 20     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
 21 }
 22 
 23 void PushDown(int rt,int m)
 24 {
 25     if(add[rt])
 26     {
 27         add[rt<<1] += add[rt];
 28         add[rt<<1|1] += add[rt];
 29         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));
 30         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);
 31         add[rt] = 0;
 32     }
 33 }
 34 
 35 void build(int l,int r,int rt)
 36 {
 37     tree[rt].l = l;
 38     tree[rt].r = r;
 39     add[rt] = 0;
 40     if(l == r)
 41     {
 42         scanf("%I64d",&sum[rt]);
 43         return ;
 44     }
 45     int m = tree[rt].mid();
 46     build(lson);
 47     build(rson);
 48     PushUp(rt);
 49 }
 50 
 51 void update(int c,int l,int r,int rt)
 52 {
53if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)54{55         add[rt]+= c;56         sum[rt]+=(__int64)c *(r-l+1);57return;58}59if(tree[rt].l == tree[rt].r)return;60PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l +1);61int m = tree[rt].mid();62if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);63elseif(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);64else65{66         update(c,l,m,rt<<1);67         update(c,m+1,r,rt<<1|1);68}69PushUp(rt);70}7172 __int64 query(int l,int r,int rt)73{74if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)75{76return sum[rt];77}78PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l +1);79int m = tree[rt].mid();80     __int64 res =0;81if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);82elseif(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);83else84{85        res += query(l,m,rt<<1);86        res += query(m+1,r,rt<<1|1);87}88return res;89}9091int main()92{93int n,m;94while(~scanf("%d %d",&n,&m))95{96         build(1,n,1);97while(m--)98{99char ch[2];100             scanf("%s",ch);101int a,b,c;102if(ch[0]=='Q')103{104                 scanf("%d %d",&a,&b);105                 printf("%I64d
",query(a,b,1));106}107108else109{110                 scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);111                 update(c,a,b,1);112}113}114}115return0;116}