codevs1169 传纸条(棋盘dp)

题目描述 Description

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入描述 Input Description

输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出描述 Output Description

输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入 Sample Input

3 3

0 3 9

2 8 5

5 7 0

样例输出 Sample Output

数据范围及提示 Data Size & Hint

30%的数据满足：1<=m,n<=10

100%的数据满足：1<=m,n<=50

题目说找来回两条不相交路径，其实也可以等价为从（1,1）到(n,m)的两条不相交路径。

如果是只找一条，那又回到了最经典的 dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + a[i][j]。

现在找两条，可以先把数组开到四维。

dp[x1][y1][x2][y2] = max{ dp[x1][y1-1][x2][y2-1],

dp[x1-1][y1][x2-1][y2],

dp[x1-1][y1][x2][y2-1],

dp[x1][y1-1][x2-1][y2]

}

+ a[x1][y1] + a[x2][y2]

要两条路径不能相交，也就是dp[x][y][x][y]属于非法状态，判断一下不能经过此状态即可。

最简单的方法是令x2>x1,因为dp[x1][y1][x2][y2]与dp[x2][y2][x1][y1]是等价的。

由于m和n最大到50，开四维的数组太大，当中有很多重复和浪费。

脑补一下，两张纸条同时传的话，同一时刻它们穿过的人数是相同的，根据这点可以进行降维。

令d[i][x1][x2]表示第i步两张纸条的x坐标分别是x1和x2，则y1=i-x1+2，y2=i-x2+2。

这样就可以得出dp方程

d[i][x1][x2] = max{ d[i-1][x1][x2], d[i-1][x1-1][x2], d[i-1][x1][x2-1], d[i-1][x1-1][x2-1] }

+ a[x1][i-x1+2] + a[x2][i-x2+2]

注意答案d[n+m-2][n][n]要特算(因为这属于"不合法状态")

#include<iostream>
#include<cassert>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
#include<iterator>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
#define rep(i,f,t) for(int i = (f),_end_=(t); i <= _end_; ++i)
#define rep2(i,f,t) for(int i = (f),_end_=(t); i < _end_; ++i)
#define dep(i,f,t) for(int i = (f),_end_=(t); i >= _end_; --i)
#define dep2(i,f,t) for(int i = (f),_end_=(t); i > _end_; --i)
#define clr(c, x) memset(c, x, sizeof(c) )
typedef long long int64;
const int INF = 0x5f5f5f5f;
const double eps = 1e-8;


//*****************************************************

int d[100][55][55];
int a[55][55];

inline int max(int i,int j,int k,int l)
{
    return max(max(i,j),max(k,l));
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,1,n)rep(j,1,m)scanf("%d",&a[i][j]);

    rep(i,1,n+m-2)rep(x1,max(1,i+2-m),min(n,i+1))
    {
        int y1 = i - x1 + 2;
        rep(x2,max(x1+1,i+2-m), min(n,i+1))
        {
            int y2 = i - x2 + 2;

            d[i][x1][x2] = max(d[i-1][x1-1][x2-1], d[i-1][x1][x2-1],
                               d[i-1][x1-1][x2],d[i-1][x1][x2])
                            + a[x1][y1] + a[x2][y2];
        }
    }
    d[n+m-2][n][n] = d[n+m-3][n-1][n];
    cout<<d[n+m-2][n][n]<<endl;   //直接输出d[n+m-3][n-1][n]即可
    return 0;
}