并查集

在计算机科学中，并查集是一种树型的数据结构，其保持着用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。有一个联合-查找算法（union-find algorithm）定义了两个操作用于此数据结构：

Find：确定元素属于哪一个子集。它可以被用来确定两个元素是否属于同一子集。
Union：将两个子集合并成同一个集合。

因为它支持这两种操作，一个不相交集也常被称为联合-查找数据结构（union-find data structure）或合并-查找集合（merge-find set）。其他的重要方法，MakeSet，用于建立单元素集合。有了这些方法，许多经典的划分问题可以被解决。

为了更加精确的定义这些方法，需要定义如何表示集合。一种常用的策略是为每个集合选定一个固定的元素，称为代表，以表示整个集合。接着。Find(x)返回x所属集合的代表，而Union使用两个集合的代表作为参数。

并查集森林

并查集森林是一种将每一个集合以树表示的数据结构，其中每一个节点保存着到它的父节点的引用（见意大利面条堆栈）。这个数据结构最早由Bernard A. Galler和Michael J. Fischer于1964年提出，^[1]但是经过了数年才完成了精确的分析。

在并查集森林中，每个集合的代表即是集合的根节点。“查找”根据其父节点的引用向根行进直到到底树根。“联合”将两棵树合并到一起，这通过将一棵树的根连接到另一棵树的根。实现这样操作的一种方法是

 function MakeSet(x)
     x.parent := x

 function Find(x)
     if x.parent == x
        return x
     else
        return Find(x.parent)

 function Union(x, y)
     xRoot := Find(x)
     yRoot := Find(y)
     xRoot.parent := yRoot

这是并查集森林的最基础的表示方法，这个方法不会比链表法好，这是因为创建的树可能会严重不平衡；然而，可以用两种办法优化。

第一种方法，称为“按秩合并”，即总是将更小的树连接至更大的树上。因为影响运行时间的是树的深度，更小的树添加到更深的树的根上将不会增加秩除非它们的秩相同。在这个算法中，术语“秩”替代了“深度”，因为同时应用了路径压缩时（见下文）秩将不会与高度相同。单元素的树的秩定义为0，当两棵秩同为r的树联合时，它们的秩r+1。只使用这个方法将使最坏的运行时间提高至每个MakeSet、Union或Find操作{displaystyle O(log n)} $O(log n)$ 。优化后的MakeSet和Union伪代码：

 function MakeSet(x)
     x.parent := x
     x.rank   := 0

 function Union(x, y)
     xRoot := Find(x)
     yRoot := Find(y)
     if xRoot == yRoot
         return

     // x和y不在同一个集合，合并它们。
     if xRoot.rank < yRoot.rank
         xRoot.parent := yRoot
     else if xRoot.rank > yRoot.rank
         yRoot.parent := xRoot
     else
         yRoot.parent := xRoot
         xRoot.rank := xRoot.rank + 1

第二个优化，称为“路径压缩”，是一种在执行“查找”时扁平化树结构的方法。关键在于在路径上的每个节点都可以直接连接到根上；他们都有同样的表示方法。为了达到这样的效果，Find递归地经过树，改变每一个节点的引用到根节点。得到的树将更加扁平，为以后直接或者间接引用节点的操作加速。这儿是Find：

 function Find(x)
     if x.parent != x
        x.parent := Find(x.parent)
     return x.parent

这两种方法的优势互补，同时使用二者的程序每个操作的平均时间仅为{displaystyle O(alpha (n))} $O(alpha (n))$ ，{displaystyle alpha (n)} $alpha (n)$ 是{displaystyle n=f(x)=A(x,x)} $n=f(x)=A(x,x)$ 的反函数，其中{displaystyle A} $A$ 是急速增加的阿克曼函数。因为{displaystyle alpha (n)} $alpha (n)$ 是其的反函数，故{displaystyle alpha (n)} $alpha (n)$ 在{displaystyle n} $n$ 十分巨大时还是小于5。因此，平均运行时间是一个极小的常数。

实际上，这是渐近最优算法：Fredman和Saks在1989年解释了{displaystyle Omega (alpha (n))} $Omega (alpha (n))$ 的平均时间内可以获得任何并查集。^[2]

主要操作

需要注意的是，一开始我们假设元素都是分别属于一个独立的集合里的。

合并两个不相交集合

操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

Pascal代码：

procedure Union(x,y:integer);{其中GetFather是下面将讲到的操作}
 var fx,fy : integer;
  begin
     fx := getfather(x);
     fy := getfather(y);
     If fx<>fy then father[fx] := fy;{指向最祖先的祖先}
  end;

C语言代码表示形式:

void Union(int x,int y)
{
    fx = getfather(x);
    fy = getfather(y);
    if(fy!=fx)
       father[fx]=fy;
}

判断两个元素是否属于同一集合

仍然使用上面的数组。则本操作即可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。寻找祖先可以采用递归实现，见后面的路径压缩算法。

Pascal代码：

Function Same(x,y:integer):boolean;
begin
  Same:=GetFather(x)=GetFather(y);
end;

C代码：

bool same(int x,int y)
{
   return getfather(x)==getfather(y);
}
/*返回true 表示相同根结点，返回false不相同*/

并查集的优化

路径压缩

刚才我们说过，寻找祖先时采用递归，但是一旦元素一多起来，或退化成一条链，每次GetFather都将会使用O(n)的复杂度，这显然不是我们想要的。

对此，我们必须要进行路径压缩，即我们找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面。这就是路径压缩了。使用路径压缩的代码如下：

Function getfather(v:integer):integer;
  begin
    if (father[v]=v) then
      getfather:=v
    else
      begin
        father[v]:=getfather(father[v]);{路径压缩}
        getfather:=father[v];
      end;
  end;

int getfather(int v)
{
    if (father[v]==v)
      return v;
    else
    {
        father[v]=getfather(father[v]);//路径压缩
        return father[v];
     }
}

Procedure Initialize;
var
  i:integer;
begin
  for i:=1 to maxv do 
    Father[i]:=i;
end;

Function GetFather(v:integer):integer;
begin
  if Father[v]=v then 
    exit(v) else
    Father[v]:=getfather(father[v]);{路径压缩}
  exit(Father[v]);
end;

Rank合并

合并时将元素所在深度低的集合合并到元素所在深度高的集合。

function judge(x,y:integer):boolean;
 var fx,fy : integer;
  begin
     fx := getfather(x);
     fy := getfather(y);
     If fx=fy then 
       exit(true) else 
       judge := false;
     if rank[fx]>rank[fy] then
       father[fy] := fx else begin
       father[fx] := fy;
       if rank[fx]=rank[fy] then 
         inc(rank[fy]);
     end;
  end;

初始化：

fillchar(rank,sizeof(rank),0);

C语言代码：合并时将元素所在深度低的集合合并到元素所在深度深的集合。

void judge(int x ,int y)

{
     fx = getfather(x);
     fy = getfather(y);

     if (rank[fx]>rank[fy])
        father[fy] = fx;
     else
     {
        father[fx] = fy;
        if(rank[fx]==rank[fy])
           ++rank[fy]; //重要的是祖先的rank，所以只用修改祖先的rank就可以了，子节点的rank不用管
     }
}

初始化：

memset(rank,0,sizeof(rank));

源代码

加了所有优化的代码框架：

function getfather(v:longint):longint;
begin
  if father[v]=v then
    exit(v) else
     father[v]:=getfather(father[v]);
    exit(father[v]);
end;

时间及空间复杂度

它使用{displaystyle O(n)}O(n)的空间（{displaystyle n}为元素数量），单次操作的均摊时间为{displaystyle O(alpha (n))}。其中{displaystyle alpha (n)}是{displaystyle f(n)=A(n,n)}的反函数，而{displaystyle A(n,n)}是阿克曼函数。

转载自维基百科https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86