【扩展欧几里得】BAPC2014 I Interesting Integers (Codeforces GYM 100526)

题目链接：

　　http://codeforces.com/gym/100526

　　http://acm.hunnu.edu.cn/online/?action=problem&type=show&id=11672&courseid=0

题目大意：

　　给定任意一个N，(N<=10⁹)求斐波那契—卢卡斯数列的前两项A和B。(先满足B最小再满足A最小，A<=B)

　　斐波那契—卢卡斯数列是斐波那契数列的推广，斐波那契数列f[0]=0,f[1]=1，斐波那契—卢卡斯数列f[0]=A,f[1]=B。

　　二者均满足f[i]=f[i-1]+f[i-2],i>=2。

题目思路：

　　【数论】【扩展欧几里得】

　　首先如果数列S是斐波那契数列，则A*S，S+S也满足f[i]=f[i-1]+f[i-2]。

　　那么考虑A=1，B=0的斐波那契—卢卡斯数列S1，为第一个数对最终答案的影响。

　　同样，A=0，B=1的斐波那契—卢卡斯数列S2，为第二个数对最终答案的影响。

　　容易得到这两个数列是错位的斐波那契数列

　　S1=1,0,1,1,2,3,5...

　　S2=0,1,1,2,3,5,8...

　　S2[i]=S1[i+1].

　　而把S1*A+S2*B如果能含有N，则A B的最小解即为所求。

　　所以只需要求出斐波那契数列的前45项(10⁹内)，接下来就是枚举N是由斐波那契数列中哪两个相邻的数分别乘A和B得到的。

　　即A*f[i]+B*f[i-1]=N。可以对f[i],f[i-1]扩展欧几里得，求出对应的A和B，看看能否把X,Y调成满足题意得(0<B<=A)如果行则为答案。

 1 //
 2 //by coolxxx
 3 //#include<bits/stdc++.h>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<string>
 7 #include<iomanip>
 8 #include<map>
 9 #include<memory.h>
10 #include<time.h>
11 #include<stdio.h>
12 #include<stdlib.h>
13 #include<string.h>
14 //#include<stdbool.h>
15 #include<math.h>
16 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
17 #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
18 #define abs(a) ((a)>0?(a):(-(a)))
19 #define lowbit(a) (a&(-a))
20 #define sqr(a) ((a)*(a))
21 #define swap(a,b) ((a)^=(b),(b)^=(a),(a)^=(b))
22 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
23 #define eps (1e-8)
24 #define J 10
25 #define mod 1000000007
26 #define MAX 0x7f7f7f7f
27 #define PI 3.14159265358979323
28 #define N 54
29 using namespace std;
30 typedef long long LL;
31 int cas,cass;
32 int n,m,lll,ans;
33 int f[N]={1,0};
34 LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
35 {
36     if(!b){x=1,y=0;return a;}
37     LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
38     y-=a/b*x;
39     return d;
40 }
41 int main()
42 {
43     #ifndef ONLINE_JUDGE
44 //    freopen("1.txt","r",stdin);
45 //    freopen("2.txt","w",stdout);
46     #endif
47     int i,j,k;
48     LL a,b,c,d,x,y,lcm,ii;
49     for(i=1;i<45;i++)
50         f[i+1]=f[i-1]+f[i];
51     for(scanf("%d",&cas);cas;cas--)
52 //    for(scanf("%d",&cas),cass=1;cass<=cas;cass++)
53 //    while(~scanf("%s",s+1))
54 //    while(~scanf("%d",&n))
55     {
56         scanf("%d",&n);
57         for(k=45;k && f[k]>n;k--);
58         if(f[k]==n)
59         {
60             puts("1 1");
61             continue;
62         }
63         for(i=k;i>2;i--)
64         {
65             a=f[i];b=f[i-1];c=n;
66             lcm=a*b;
67             d=exgcd(a,b,x,y);
68             x=x%b+b;
69             y=(1-x*a)/b;
70             x*=c;y*=c;
71             if(y<=0)
72             {
73                 ii=(y-a+1)/(-a);
74                 y+=ii*a;
75                 x-=ii*b;
76             }
77             while((x-b)>=(y+a))x-=b,y+=a;
78             if(x<=0 || y<=0 || y>x)continue;
79             printf("%I64d %I64d
",y,x);
80             break;
81         }
82     }
83     return 0;
84 }
85 /*
86 //
87 
88 //
89 */

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