常微分复习重点
定理2.1 设函数$P(x,y)$和$Q(x,y)$在区域$R:alpha <x<eta ,gamma <y<delta $上连续，且有连续的一阶偏导数$frac{partial P}{partial y}$和$frac{partial Q}{partial x}$，则微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$是恰当方程的充要条件为恒等式$frac{partial P}{partial y}(x,y)equiv frac{partial Q}{partial x}(x,y)$在$R$内成立，而且当$frac{partial P}{partial y}(x,y)equiv frac{partial Q}{partial x}(x,y)$成立时，方程
$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$的通积分为
$int_{{{x}_{0}}}^{x}{P(x,y)dx+int_{{{y}_{0}}}^{y}{Q({{x}_{0}},y)dy=C}}$或$int_{{{x}_{0}}}^{x}{P(x,{{y}_{0}})dx+int_{{{y}_{0}}}^{y}{Q(x,y)dy=C}}$
其中$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$是$R$内任意一点。
定理2.2 设已知里卡蒂方程$frac{dy}{dx}=p(x){{y}^{2}}+q(x)y+r(x)$的一个特解$y={{varphi }_{1}}(x)$，则可用积分法求得它的通解。
定理2.3 设里卡蒂方程$frac{dy}{dx}+a{{y}^{2}}=b{{x}^{m}}$，其中$a e 0,b,m$都是常数，又设$x e 0$和$y e 0$，则当$m=0$时，此时可直接变量分离；
当$m=-2$时，作变换$z=xy$，又可变量分离；
当$m=-frac{4k}{2k+1}$时，作变换$x={{xi }^{frac{1}{m+1}}},y=frac{b}{m+1}{{eta }^{-1}}$，又可变量分离；
当$m=-frac{4k}{2k-1}$，也可变量分离。
定理2.4 微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$有一个只依赖于$x$的积分因子的充要条件为：表达式$frac{1}{Q(x,y)}left( frac{partial P(x,y)}{partial x}-frac{partial Q(x,y)}{partial y} ight)$只依赖于$x$，而与$y$无关；而且若把表达式
$frac{1}{Q(x,y)}left( frac{partial P(x,y)}{partial x}-frac{partial Q(x,y)}{partial y} ight)$记为$G(x)$，那由$u(x)={{e}^{int{G(x)dx}}}$所示的函数是方程
$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$的一个积分因子。
定理2.5微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$有一个只依赖于$y$的积分因子的充要条件为：表达式$frac{1}{P(x,y)}left( frac{partial Q(x,y)}{partial y}-frac{partial P(x,y)}{partial x} ight)$只依赖于$y$，而与$x$无关；而且此时函数
[u(y)={{e}^{int{H(y)dy}}}]是方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$的一个积分因子。
定理2.6 若$u=u(x,y)$是方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$的一个积分因子，使得
$uP(x,y)dx+uQ(x,y)dy=dPhi (x,y)$，则$u(x,y)g(Phi (x,y))$也是
$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$的一个积分因子，其中$g(cdot )$是任一可微的（非零）函数。
[Lipschitz]条件：设函数$f(x,y)$在区域$D$内满足不等式$left| f(x,{{y}_{1}})-f(x,{{y}_{2}}) ight|le Lleft| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} ight|$
其中常数$L>0$，则称函数$f(x,y)$在区域$D$内对$y$满足$Lipschitz$条件。
最大存在区间：微分方程$frac{dy}{dx}=f(x,y)$经过${{P}_{0}}$的解$Gamma $有如下表达式：$Gamma :y=varphi (x),xin J$，那么$J$就表示$Gamma $的最大存在区间
定理3.1 设初值问题$(E):frac{dy}{dx}=f(x,y),y({{x}_{0}})={{y}_{0}}$，其中$f(x,y)$在矩形区域
$R:left| x-{{x}_{0}} ight|le a,left| y-{{y}_{0}} ight|le b$内连续，而且对$y$满足$Lipschitz$条件，则$E$在区间
$I=[{{x}_{0}}-h,{{x}_{0}}+h]$上有并且只有一个解，其中常数$h=min {a,frac{b}{M}},M>underset{(x,y)in R}{mathop{max }}\,left| f(x,y) ight|$
$Osgood$条件：设函数$f(x,y)$在区域$G$内连续，而且满足不等式
$left| f(x,{{y}_{1}})-f(x,{{y}_{2}}) ight|le Fleft( left| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} ight| ight)$，其中$F(r)>0$是$r>0$的连续函数，而且瑕积分
$int_{0}^{{{r}_{1}}}{frac{dr}{F(r)}}=infty $（${{r}_{1}}>0$为常数），则称$f(x,y)$在区域$G$内对$y$满足$Osgood$条件。同时，
$Lipschitz$条件是$Osgood$条件的特例，此处$F(r)=Lr$满足$Osgood$要求
定理3.2 设$f(x,y)$在区域$G$内对$y$满足$Osgood$条件，则微分方程$frac{dy}{dx}=f(x,y)$在$G$内经过每一点的解都是唯一的。
等度连续：设在区间$I$上给定一个函数序列：${{f}_{1}}(x),{{f}_{2}}(x),cdots ,{{f}_{n}}(x),cdots $，如果对任意的正数$varepsilon >0$，存在正数$delta =delta (varepsilon )>0$，使得只要${{x}_{1}},{{x}_{2}}in I$和$left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} ight|<delta $时，就有
$left| {{f}_{n}}({{x}_{1}})-{{f}_{n}}({{x}_{2}}) ight|<varepsilon $，则称函数序列${{f}_{1}}(x),{{f}_{2}}(x),cdots ,{{f}_{n}}(x),cdots $在区间$I$上是等度连续的。
定理3.4 设${{P}_{0}}$为区域$G$内任一点，并设$Gamma $为微分方程$frac{dy}{dx}=f(x,y)$经过${{P}_{0}}$的任一条积分曲线，则积分曲线$Gamma $将在区域$G$内延伸到边界（换句话说，对于任何有界闭区域
${{G}_{1}}({{P}_{0}}in {{G}_{1}}subset G)$，积分曲线$Gamma $将延伸到${{G}_{1}}$之外）
推论：设函数$f(x,y)$在区域$G$内连续，而且对$y$满足局部的$Lipschitz$条件【即对区域$G$内任一点$q$，存在以$q$点为中心的一个矩形区域$Qsubset G$，使得在$Q$内$f(x,y)$对$y$满足
$Lipschitz$条件（注意：相应的$Lipschitz$常数$L$与矩形区域$Q$有关）】，则微分方程
$frac{dy}{dx}=f(x,y)$经过$G$内任何一点${{P}_{0}}$存在唯一的积分曲线$Gamma $，并且$Gamma $在$G$内可以延伸到边界。
定理3.5 设微分方程$frac{dy}{dx}=f(x,y)$，其中$f(x,y)$在条形区域$S:alpha <x<eta ,-infty <y<+infty $内连续，而且满足不等式$left| f(x,y) ight|le A(x)left| y ight|+B(x)$，其中$A(x)ge 0$和$B(x)ge 0$在区间
$alpha <x<eta $内连续，则微分方程$frac{dy}{dx}=f(x,y)$的每一个解都以$alpha <x<eta $为最大存在区间
定理4.1 设函数$F(x,y,p)$对$(x,y,p)in G$是连续的，而且对$y$和$p$有连续的偏微商$F_{y}^{'}$和$F_{p}^{'}$，若函数$y=varphi (x),xin J$是微分方程$F(x,y,frac{dy}{dx})=0$的一个奇解，并且
$(x,varphi (x),varphi '(x))in G,xin J$，则奇解$y=varphi (x)$满足一个称之为$p-$判别式的联立方程
$F(x,y,p)=0,F_{p}^{'}(x,y,p)=0,p=frac{dy}{dx}$，则称由此决定的曲线为方程$F(x,y,frac{dy}{dx})=0$的$p-$判别式。
定理4.2 设函数$F(x,y,p)$对$(x,y,p)in G$是二阶连续可微的，又设由微分方程
$F(x,y,frac{dy}{dx})=0$的$p-$判别式$F(x,y,p)=0,F_{p}^{'}(x,y,p)=0,p=frac{dy}{dx}$消去$p$后得到的函数$y=varphi (x),xin J$是微分方程$F(x,y,frac{dy}{dx})=0$的解，而且设条件
$F_{y}^{'}(x,varphi (x),varphi '(x)) e 0,F_{pp}^{''}(x,varphi (x),varphi '(x)) e 0$以及$F_{p}^{'}(x,varphi (x),varphi '(x))=0$对$xin J$成立，则
$y=varphi (x)$是方程的奇解。
包络：设在平面上有一条连续可微的曲线$Gamma $，如果对于任一点$qin Gamma $，在曲线族$K(C):$
$V(x,y,C)=0$中都有一条曲线$K({{C}^{*}})$通过$q$点并在该点与$Gamma $相切，而且$K({{C}^{*}})$中$q$点的某一邻域内不同于$Gamma $，则称曲线$Gamma $为曲线族$K(C):$$V(x,y,C)=0$的一支包络。
定理4.3 设微分方程$F(x,y,frac{dy}{dx})=0$有通积分为$U(x,y,C)=0$，又设积分曲线族$K(C):$
$V(x,y,C)=0$中有包络为$Gamma :$$y=varphi (x),xin J$，则包络$y=varphi (x)$是微分方程
$F(x,y,frac{dy}{dx})=0$的奇解。
定理4.4 设$Gamma $为曲线族$K(C):$$V(x,y,C)=0$的一支包络，则它满足如下的$C-$判别式：
$V(x,y,C)=0,V_{C}^{'}(x,y,C)=0$；或消去$C$所得的关系式为$Omega (x,y)=0$
定理4.5 设由曲线族$K(C):$$V(x,y,C)=0$的$C-$判别式$V(x,y,C)=0,V_{C}^{'}(x,y,C)=0$确定一支连续可微且不含于族$K(C):$$V(x,y,C)=0$的曲线$Lambda :x=varphi (C),y=psi (C)$，
$Cin J$，而且它满足非蜕化性条件$(varphi '(C),psi '(C)) e (0,0),(V_{x}^{'},V_{y}^{'}) e (0,0)$，其中
$V_{x}^{'}=V_{x}^{'}(varphi (C),psi (C),C)$与$V_{y}^{'}=V_{y}^{'}(varphi (C),psi (C),C)$，则$Lambda $为曲线族$K(C):$$V(x,y,C)=0$的一支包络。
定理5.1 设$n$维向量值函数$f(x,y,lambda )$在区域$G:left| x ight|le a,left| y ight|le b,left| lambda -{{lambda }_{0}} ight|le c$上是连续的，而且对$y$满足$Lipschitz$条件：$left| f(x,{{y}_{1}},lambda )-f(x,{{y}_{2}},lambda ) ight|le Lleft| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} ight|$。其中常数$Lge 0$，令正数$M$为$left| f(x,y,lambda ) ight|$的区域$G$的一个上界，而且令$h=min {a,frac{b}{M}}$，则初值问题
$({{E}_{lambda }}):frac{dy}{dx}=f(x,y,lambda )$的解$y=varphi (x,lambda )$在区域$D:left| x ight|le h,left| lambda -{{lambda }_{0}} ight|le c$上是连续的。
推论：设$n$维向量值函数$f(x,y)$在区域$R:left| x-{{x}_{0}} ight|le a,left| y-{{y}_{0}} ight|le b$上连续，而且对$y$满足
$Lipschitz$条件，则微分方程初值问题$frac{dy}{dx}=f(x,y),y({{x}_{0}})=eta $的解$y=varphi (x,eta )$在区域
$Q:left| x-{{x}_{0}} ight|le frac{h}{2},left| eta -{{y}_{0}} ight|le frac{b}{2}$上是连续的，其中$h=min {a,frac{b}{M}}$，而正数$M$为$left| f(x,y) ight|$在区域$R$上的一个上界。
（$n$维向量形式微分方程的$Picard$存在和唯一性定理）
设初值问题$
left{egin{array}{ll}
frac{{dy}}{{dx}} = f(x,y) \
y({x_0}) = {y_0}
end{array}
ight.$，其中$f(x,y)$在区域$R:left| x-{{x}_{0}}
ight|le a,left| y-{{y}_{0}}
ight|le b$内连续，且对$y$满足$Lipschitz$条件：存在$L>0$，对任意的$(x,{{y}_{1}}),(x,{{y}_{2}})in R$，有
$left| f(x,{{y}_{1}})-f(x,{{y}_{2}})
ight|le Lleft| {{y}_{1}}-{{y}_{2}}
ight|$，则$
left{egin{array}{ll}
frac{{dy}}{{dx}} = f(x,y) \
y({x_0}) = {y_0}
end{array}
ight.$在区间$[{{x}_{0}}-h,{{x}_{0}}+h]$上有并且只有一个解，其中常数$M=underset{(x,y)in R}{mathop{max }}\,left| f(x,y)
ight|$，$h=min {a,frac{b}{M}}$
（线性微分方程组的存在和唯一性定理）
设$A(x)={{({{a}_{ij}}(x))}_{n imes n}}$，$e(x)$在区间$a<x<b$上是连续的，则初值问题
$
left{egin{array}{ll}
frac{{dy}}{{dx}} = A(x)y + e(x) \
y({x_0}) = {y_0}
end{array}
ight.$$(a < {x_0} < b)$的解$y=y(x)$在区间$a<x<b$上存在且唯一。
定理5.2 设$n$维向量值函数$f(x,y)$在$(x,y)$空间内的某个开区域$G$上是连续的，而且对$y$满足局部$Lipschitz$条件，假设$y=xi (x)$是微分方程$frac{dy}{dx}=f(x,y)$的一个解，令它的存在区间为$J$，在区间$J$内任取一个有界闭区间$ale xle b$，则存在常数$delta >0$，使得对任何初值
$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$，$ale {{x}_{0}}le b,left| {{y}_{0}}-xi ({{x}_{0}}) ight|le delta $，柯西问题$(E):frac{dy}{dx}=f(x,y),y({{x}_{0}})={{y}_{0}}$的解
$y=varphi (x;{{x}_{0}},{{y}_{0}})$也至少在区间$ale xle b$上存在，并且它在闭区域
${{D}_{delta }}:ale xle b,ale {{x}_{0}}le b,left| {{y}_{0}}-xi ({{x}_{0}}) ight|le delta $上是连续的。
存在和唯一性定理：线性微分方程组$frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$满足初值条件：$y({{x}_{0}})={{y}_{0}}$的解
$y=y(x)$在区间$a<x<b$上是存在和唯一的，其中初值${{x}_{0}}in (a,b)$和${{y}_{0}}in {{R}^{n}}$是任意给定的。
引理6.1 设$y={{y}_{1}}(x)$和$y={{y}_{2}}(x)$时齐次线性微分方程组$frac{dy}{dx}=A(x)y$的解，则它们的线性组合$y={{C}_{1}}{{y}_{1}}(x)+{{C}_{2}}{{y}_{2}}(x)$也是方程组$frac{dy}{dx}=A(x)y$的解，其中${{C}_{1}}$和${{C}_{2}}$是（实的）任意常数。
引理6.2 线性空间$S$是$n$维的（这里$n$是微分方程组$frac{dy}{dx}=A(x)y$的阶数）
定理6.1 齐次线性微分方程组$frac{dy}{dx}=A(x)y$在区间$a<x<b$上有$n$个线性无关的解
${{varphi }_{1}}(x),cdots ,{{varphi }_{n}}(x)$而且它的通解为$y={{C}_{1}}{{varphi }_{1}}(x)+cdots +{{C}_{n}}{{varphi }_{n}}(x)$，其中${{C}_{1}},cdots ,{{C}_{n}}$是任意常数。
朗斯基行列式（$Wronsky$）$
W(x) = left|egin{array}{cccc}
{{y_{11}}(x)} & {{y_{12}}(x)} & cdots & {{y_{1n}}(x)} \
{{y_{21}}(x)} & {{y_{22}}(x)} & cdots & {{y_{2n}}(x)} \
vdots & vdots & & vdots \
{{y_{n1}}(x)} & {{y_{n2}}(x)} & cdots & {{y_{nn}}(x)}
end{array}
ight|
$
引理6.3 上述朗斯基$Wronsky$行列式满足下面的刘维尔$Liouville$公式：
$W(x)=W({{x}_{0}}){{e}^{int_{{{x}_{0}}}^{x}{tr[A(x)]dx}}}$ $(a<x<b)$
其中${{x}_{0}}in (a,b)$，而$tr[A(x)]$表示矩阵$A(x)$的迹，即$tr[A(x)]=sumlimits_{j=1}^{n}{{{a}_{jj}}}(x)$
定理6.3 线性微分方程组$frac{dy}{dx}=A(x)y$的解组${{varphi }_{1}}(x),cdots ,{{varphi }_{n}}(x)$是线性无关的充要条件为
$W(x) e 0,a<x<b$
推论6.1 解组${{varphi }_{1}}(x),cdots ,{{varphi }_{n}}(x)$是线性相关的充要条件为$W(x)equiv 0,a<x<b$
推论6.2
（1）设$Phi (x)$是方程组$frac{dy}{dx}=A(x)y$的基解矩阵，则对于任一个非奇异的$n$阶常数矩阵$C$，矩阵$psi (x)=Phi (x)C$也是$frac{dy}{dx}=A(x)y$的一个基解矩阵。
（2）设$Phi (x)$和$psi (x)$都是方程组$frac{dy}{dx}=A(x)y$的基解矩阵，则必存在一个非奇异的$n$阶常数矩阵$C$，使得$psi (x)=Phi (x)C$成立
引理6.4 如果$Phi (x)$是与$frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$相应的齐次线性微分方程组$frac{dy}{dx}=A(x)y$的一个基解矩阵，${{varphi }^{*}}(x)$是$frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$的一个特解，则$frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$的任一解
$y=varphi (x)$可以表示为$varphi (x)=Phi (x)C+{{varphi }^{*}}(x)$，其中$C$是一个与$varphi (x)$有关的常数列向量。
引理6.5 设$Phi (x)$是$frac{dy}{dx}=A(x)y$的一个基解矩阵，则${{varphi }^{*}}(x)=Phi (x)int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{Phi }^{-1}}(s)f(s)ds}$是非齐次线性微分方程组$frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$的一个特解。
定理6.3 设$Phi (x)$是$frac{dy}{dx}=A(x)y$的一个基解矩阵，则非齐次线性微分方程组
$frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$在区间$a<x<b$上的通解可以表示为
$y=Phi (x)left( C+int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{Phi }^{-1}}(s)f(s)ds} ight)$
其中$C$是$n$维的任意常数列向量；而且$frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$满足初值条件$y({{x}_{0}})={{y}_{0}}$的解为：
$y=Phi (x){{Phi }^{-1}}({{x}_{0}}){{y}_{0}}+Phi (x)int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{Phi }^{-1}}(s)f(s)ds}$
其中${{x}_{0}}in (a,b)$
命题1 矩阵$A$的幂级数$E+A+frac{1}{2!}{{A}^{2}}+cdots +frac{1}{k!}{{A}^{k}}+cdots $是绝对收敛的。
命题2 矩阵指数函数有下面的性质：
（1）若矩阵$A$和$B$是可交换的（即$AB=BA$），则${{e}^{A+B}}={{e}^{A}}{{e}^{B}}$；
（2）对任何矩阵$A$，指数矩阵${{e}^{A}}$是可逆的，且${{({{e}^{A}})}^{-1}}={{e}^{-A}}$；
（3）若是一个非奇异的阶矩阵，则
推论6.3 常系数非齐次线性微分方程组在区间上的通解为：
x$y={{e}^{xA}}C+int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{e}^{(x-s)A}}f(s)ds}$，其中$C$一任意的常数列向量；而$frac{dy}{dx}=Ay+f(x)$满足初始条件$y({{x}_{0}})={{y}_{0}}$的解为：$y={{e}^{(x-{{x}_{0}})A}}{{y}_{0}}+int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{e}^{(x-s)A}}f(s)ds}$，其中${{x}_{0}}in (a,b)$
引理6.6 微分方程组$frac{dy}{dx}=Ay$有非零解$y={{e}^{lambda x}}r$，当且仅当$lambda $为矩阵$A$的特征根，而$r$是与$lambda $相对应的特征向量。
定理6.5 设$n$阶矩阵$A$有$n$个互不相同的特征根${{lambda }_{1}},{{lambda }_{2}},cdots ,{{lambda }_{n}}$，则矩阵函数
$Phi (x)=({{e}^{{{lambda }_{1}}x}}{{r}_{1}},cdots ,{{e}^{{{lambda }_{n}}x}}{{r}_{n}})$是$frac{dy}{dx}=Ay$的一个基解矩阵，其中${{r}_{i}}$是$A$的与${{lambda }_{i}}$对应的特征向量。
定理6.5$^{*}$ 设${{r}_{1}},cdots ,{{r}_{n}}$是矩阵$A$的$n$个线性无关的特征向量，则矩阵函数
$Phi (x)=({{e}^{{{lambda }_{1}}x}}{{r}_{1}},cdots ,{{e}^{{{lambda }_{n}}x}}{{r}_{n}})$是方程组$frac{dy}{dx}=Ay$的一个基解矩阵，其中${{lambda }_{1}},cdots ,{{lambda }_{n}}$是矩阵$A$的与
${{r}_{1}},cdots ,{{r}_{n}}$相应的特征根，它们不必互不相同。
引理6.7 设${{lambda }_{i}}$是矩阵$A$的${{n}_{i}}$重特征根，则$frac{dy}{dx}=Ay$有形如
$y={{e}^{{{lambda }_{i}}x}}({{r}_{0}}+frac{x}{1!}{{r}_{1}}+frac{{{x}^{2}}}{2!}{{r}_{2}}cdots +frac{{{x}^{{{n}_{i}}-1}}}{({{n}_{i}}-1)!}{{r}_{{{n}_{i}}-1}})$
的非零解的充要条件为：${{r}_{0}}$是齐次线性代数方程组${{(A-{{lambda }_{i}}E)}^{{{n}_{i}}}}r=0$的一个非零解，而且上式中的${{r}_{1}},cdots ,{{r}_{n}}$是由下面的关系式逐次确定的$left{egin{array}{ll}
{r_1} = (A - {lambda _i}E){r_0} \
{r_2} = (A - {lambda _i}E){r_1} \
cdots cdots \
{r_{{n_i} - 1}} = (A - {lambda _i}E){r_{{n_i} - 2}}
end{array}
ight.$
命题4 设矩阵$A$的互不相同的特征根为${{lambda }_{1}},{{lambda }_{2}},cdots ,{{lambda }_{s}}$，它们的重数分别是${{n}_{1}},{{n}_{2}},cdots ,{{n}_{s}}$
（${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+cdots +{{n}_{s}}=n$）；记$n$维常数列向量所组成的线性空间为$V$，则
（1）$V$的子集合${{V}_{i}}={rin V|{{(A-{{lambda }_{i}}E)}^{{{n}_{i}}}}r=0}$是矩阵$A$的${{n}_{i}}$$(i=1,2,cdots n)$维不变子空间；
（2）$V$有直和分解$V={{V}_{1}}oplus {{V}_{2}}oplus cdots oplus {{V}_{s}}$
定理6.6 设$n$阶实值常数矩阵$A$在复数域中互不相同的特征值是${{lambda }_{1}},{{lambda }_{2}},cdots ,{{lambda }_{s}}$，而且对应的重数分别是${{n}_{1}},{{n}_{2}},cdots ,{{n}_{s}}$（${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+cdots +{{n}_{s}}=n$），则常系数齐次线性微分方程组$frac{dy}{dx}=Ay$有基解矩阵$Phi (x)$为[left( {{e}^{{{lambda }_{1}}x}}P_{1}^{(1)}(x),cdots ,{{e}^{{{lambda }_{1}}x}}P_{{{n}_{1}}}^{(1)}(x);cdots ;{{e}^{{{lambda }_{s}}x}}P_{1}^{(s)}(x),cdots ,{{e}^{{{lambda }_{s}}x}}P_{{{n}_{s}}}^{(s)}(x) ight)]，其中
$P_{j}^{(i)}(x)=r_{j0}^{i}+frac{x}{1!}r_{j1}^{i}+frac{{{x}^{2}}}{2!}r_{j2}^{i}+cdots +frac{{{x}^{{{n}_{i}}-1}}}{({{n}_{i}}-1)!}r_{j{{n}_{i}}-1}^{i}$是与${{lambda }_{i}}$相应的第$j$个向量多项式
$(i=1,2,cdots ,s;j=1,2,cdots ,{{n}_{i}})$，而$r_{10}^{i},cdots ,r_{{{n}_{i}}0}^{i}$是齐次线性代数方程组${{(A-{{lambda }_{i}}E)}^{{{n}_{i}}}}r=0$的
${{n}_{i}}$的线性无关的解，且$r_{jk}^{i}(i=1,2,cdots ,s;j=1,2,cdots ,{{n}_{i}};k=1,2,cdots ,{{n}_{i}}-1)$是把$r_{j0}^{i}$代替
$left{egin{array}{ll}
{r_1} = (A - {lambda _i}E){r_0} \
{r_2} = (A - {lambda _i}E){r_1} \
cdots cdots \
{r_{{n_i} - 1}} = (A - {lambda _i}E){r_{{n_i} - 2}}
end{array}
ight.$中的 而依次得出的 。
命题5 方程${{y}^{(n)}}+{{a}_{1}}(x){{y}^{(n-1)}}+cdots +{{a}_{n-1}}(x)y'+{{a}_{n}}(x)y=0$的解组${{varphi }_{1}}(x),cdots ,{{varphi }_{n}}(x)$是线性无关（相关）的，当且仅当由它们作出的向量函数组$
left(egin{array}{cccc}
{varphi _1}(x) \
varphi _1^'(x) \
vdots \
varphi _1^{(n - 1)}(x)
end{array}
ight)
$,$
left(egin{array}{cccc}
{varphi _2}(x) \
varphi _2^'(x) \
vdots \
varphi _2^{(n - 1)}(x)
end{array}
ight)
$,$vdots$,$
left(egin{array}{cccc}
{varphi _n}(x) \
varphi _n^'(x) \
vdots \
varphi _n^{(n - 1)}(x)
end{array}
ight)
$
（它是方程组$frac{dy}{dx}=Ay$的解组）在$a<x<b$上是线性无关（相关）的
命题6.1$^{*}$ 齐次线性微分方程组${{y}^{(n)}}+{{a}_{1}}(x){{y}^{(n-1)}}+cdots +{{a}_{n-1}}(x)y'+{{a}_{n}}(x)y=0$在区间
$a<x<b$上存在$n$个线性无关的解，如果这$n$个线性无关的解为${{varphi }_{1}}(x),cdots ,{{varphi }_{n}}(x)$，则方程的通解为$y={{C}_{1}}{{varphi }_{1}}(x)+cdots +{{C}_{n}}{{varphi }_{n}}(x)$，其中${{C}_{1}},cdots ,{{C}_{n}}$为任意常数。
命题6.2$^{*}$ 方程${{y}^{(n)}}+{{a}_{1}}(x){{y}^{(n-1)}}+cdots +{{a}_{n-1}}(x)y'+{{a}_{n}}(x)y=0$的解组${{varphi }_{1}}(x),cdots ,{{varphi }_{n}}(x)$是线性无关的充要条件为它的$Wronsky$行列式$
W(x)=left|egin{array}{cccc}
{{varphi _1}(x)} & {{varphi _2}(x)} & cdots & {{varphi _n}(x)} \
{varphi _1^'(x)} & {varphi _2^'(x)} & cdots & {varphi _n^'(x)} \
vdots & vdots & & vdots \
{varphi _1^{(n - 1)}(x)} & {varphi _2^{(n - 1)}(x)} & cdots & {varphi _n^{(n - 1)}(x)}
end{array}
ight|
$在区间$a<x<b$上恒不为0（而且它在某一点${{x}_{0}}in (a,b)$的值$W({{x}_{0}})
e 0$）
定理6.3$^{*}$ 设${{varphi }_{1}}(x),cdots ,{{varphi }_{n}}(x)$是齐次线性微分方程组（如上）在区间$a<x<b$上的一个基本解组，则${{y}^{(n)}}+{{a}_{1}}(x){{y}^{(n-1)}}+cdots +{{a}_{n-1}}(x)y'+{{a}_{n}}(x)y=f(x)$的通解为
$y={{C}_{1}}{{varphi }_{1}}(x)+cdots +{{C}_{n}}{{varphi }_{n}}(x)+{{varphi }^{*}}(x)$，其中${{C}_{1}},cdots ,{{C}_{n}}$为任意常数，而
${{varphi }^{*}}(x)=sumlimits_{k=1}^{n}{{{varphi }_{k}}(x)cdot int_{{{x}_{0}}}^{x}{frac{{{W}_{k}}(s)}{W(s)}f(s)ds}}$是非齐次方程的一个特解，这里$W(x)$是
${{varphi }_{1}}(x),cdots ,{{varphi }_{n}}(x)$的$Wronsky$行列式，而${{W}_{k}}(x)$是第$n$行第$k$列元素的代数余子式（亦即，以$(0,0,cdots ,0,1)$的转置替换$W(x)$中的第$k$列后所得到的行列式）
定理6.6$^{*}$ 设常系数齐次线性微分方程${{y}^{(n)}}+{{a}_{1}}{{y}^{(n-1)}}+cdots +{{a}_{n-1}}y'+{{a}_{n}}y=0$的特征方程在复数域中共有$s$个互不相同的根${{lambda }_{1}},cdots ,{{lambda }_{s}}$，而且对应的重数分别是$left{egin{array}{ll}
{e^{{lambda _1}x}},x{e^{{lambda _1}x}}, cdots ,{x^{{n_1} - 1}}{e^{{lambda _1}x}} \
cdots cdots \
{e^{{lambda _s}x}},x{e^{{lambda _s}x}}, cdots ,{x^{{n_s} - 1}}{e^{{lambda _s}x}}
end{array}
ight.$是微分方程的一个基本解组。
平衡点（奇点）：已知一个质点$M$在时刻$t$的空间坐标为$x=({{x}_{1}},{{x}_{2}},cdots ,{{x}_{n}})$，并且已知它在$x$点的运动速度为$v(x)=({{v}_{1}}(x),cdots ,{{v}_{n}}(x))$，它只与空间坐标$x$有关，质点$M$的运动方程为$frac{dx}{dt}=v(x)$，它是一个自治微分方程，若$v({{x}_{0}})=0$，则方程有一个定解$x={{x}_{0}}$，它是一条退化的轨线，称之为平衡点，也称为奇点，此时的微分方程为一个动力系统；
动力系统的性质：
（1）积分曲线的平移不变性：既动力系统的积分曲线在增广相空间中沿$t$轴任意平移后还是该动力系统的积分曲线；
（2）过相空间每一点轨线的唯一性：即过相空间的任一点，该动力系统存在唯一的轨线通过此点。
（3）群的性质：该动力系统的解$varphi (t,{{x}_{0}})$满足关系式：$varphi ({{t}_{2}},varphi ({{t}_{1}},{{x}_{0}}))=varphi ({{t}_{1}}+{{t}_{2}},{{x}_{0}})$
此式的含义是：在相空间中，如果从${{x}_{0}}$出发的运动沿轨线经过时刻${{t}_{1}}$到达$varphi ({{t}_{1}},{{x}_{0}})$，再经过时间${{t}_{2}}$到达${{x}_{2}}=varphi ({{t}_{2}},varphi ({{t}_{1}},{{x}_{0}}))$，那么从${{x}_{0}}$出发的运动沿轨线经过时间${{t}_{1}}+{{t}_{2}}$也到达${{x}_{2}}$
（李雅普诺夫$Lyapunov$）稳定：对一般方程$frac{dx}{dt}=f(t,x)$，其中函数$f(t,x)$对$xin Gsubset {{R}^{n}}$和$tin (-infty ,+infty )$连续，并对$x$满足$Lipschitz$条件，设方程有一个解$x=varphi (t)$在${{t}_{0}}le t<+infty $有定义，如果对任意给定的$varepsilon >0$，都存在$delta =delta (varepsilon )>0$，使得只要$left| {{x}_{0}}-varphi ({{t}_{0}}) ight|<delta $，方程以
$x({{t}_{0}})={{x}_{0}}$为初值的解$x(t,{{t}_{0}},{{x}_{0}})$就也在$tge {{t}_{0}}$上有定义，并且满足$left| x(t,{{t}_{0}},{{x}_{0}})-varphi (t) ight|<varepsilon $，$tge {{t}_{0}}$，则称方程的解$x=varphi (t)$是（$Lyapunov$意义下）稳定的
（$Lyapunov$）渐进稳定：若$x=varphi (t)$是稳定的，而且存在${{delta }_{1}}(0<{{delta }_{1}}le delta )$，使得只要
$left| {{x}_{0}}-varphi ({{x}_{0}}) ight|<{{delta }_{1}}$，就有$underset{t o +infty }{mathop{lim }}\,(x(t,{{x}_{0}},{{t}_{0}})-varphi (t))=0$，则称解$x=varphi (t)$时$Lyapunov$意义下渐进稳定的。
定理8.1 设线性方程$frac{dx}{dt}=A(t)x$中的矩阵$A(t)$为常矩阵，则
（1）零解是渐近稳定的，当且仅当矩阵$A$的全部特征值都是负的实部；
（2）零解是稳定的，当且仅当矩阵$A$的全部特征值的实部是非正的，那些实部为0的特征值所对应的$Jordan$块都是一阶的；
（3）零解是不稳定的，当且仅当矩阵$A$的特征根中至少有一个实部为正；或者至少有一个实部为0，且它所对应的$Jordan$块是高于一阶的。
定理8.2 设方程$frac{dx}{dt}=A(t)x+N(t,x)$中的$A(t)equiv A$为常矩阵，而且$A$的全部特征值都具有负的实部，则方程的零解是渐进稳定的
定理8.3 设方程$frac{dx}{dt}=A(t)x+N(t,x)$中的$A(t)equiv A$为常矩阵，而且$A$的特征值至少有一个具有正的实部，则方程的零解是不稳定的
定理8.4 $Lyapunov$的稳定性判据：
（1）若方程为$frac{dx}{dt}=f(x)$，满足
条件（I）$V(0)=0,V(x)>0$，当$x e 0$。（称$V$为定正函数）
条件（II）$frac{dV}{dt}=frac{partial V}{partial {{x}_{1}}}{{f}_{1}}+cdots +frac{partial V}{partial {{x}_{n}}}{{f}_{n}}<0$，当$x e 0$（即$frac{dV}{dt}$为定负函数）
则方程的零解是渐进稳定的；
（2）若满足
条件（I）$V(0)=0,V(x)>0$，当$x e 0$。（称$V$为定正函数）
条件（II$^{*}$）$frac{dV}{dt}=frac{partial V}{partial {{x}_{1}}}{{f}_{1}}+cdots +frac{partial V}{partial {{x}_{n}}}{{f}_{n}}le 0$，当$x e 0$（即$frac{dV}{dt}$为常负函数）
则方程的零解是稳定的；
（3）若满足
条件（I）$V(0)=0,V(x)>0$，当$x e 0$。（称$V$为定正函数）
条件（III）$frac{dV}{dt}=frac{partial V}{partial {{x}_{1}}}{{f}_{1}}+cdots +frac{partial V}{partial {{x}_{n}}}{{f}_{n}}>0$，当$x e 0$（即$frac{dV}{dt}$为定正函数）
则方程的零解是不稳定的。
初等奇点：以$(0,0)$为奇点的线性系统$
frac{d}{{dt}}left(egin{array}{cccc}
x \
y
end{array}
ight)
$$
=Aleft(egin{array}{cccc}
x \
y
end{array}
ight)
$,其中$
A=left(egin{array}{cccc}
a & b \
c & d
end{array}
ight)
$为常矩阵，当矩阵$A$非退化（即$A$不以$0$为特征根）时，称$(0,0)$为系统的初等奇点，否则成为高阶奇点。初等奇点都是孤立奇点，而线性高阶奇点都是非孤立的。
平面上的若尔当定理：平面上的简单闭曲线$gamma $把平面分成两部分，连接这两部分中任一点的连续路径必定与$gamma $相交。
（非常重要）
$
A=left(egin{array}{cccc}
lambda & 0 \
0 & mu
end{array}
ight)
$$(lambda mu
e 0)$
星形结点（临界结点）：直线
（1）$lambda =u$，$lambda <0$时，$t o +infty $时$(x(t),y(t)) o (0,0)$，此时奇点$(0,0)$是渐进稳定的；或$lambda >0$时，相反，此时奇点$(0,0)$是不稳定的。
两向结点（结点）：抛物线：
（2）$lambda e mu $且$lambda mu >0$，当$left| frac{mu }{lambda } ight|>1$时，与$x$轴相切；当$left| frac{mu }{lambda } ight|<1$时，与$y$轴相切：
鞍点：双曲线
（3）$lambda mu <0$
单向结点（退化结点）
（4）$
A=left(egin{array}{cccc}
lambda & 0 \
1 & lambda
end{array}
ight)
$$(lambda
e 0)$，解为$y=Cx+frac{x}{lambda }ln left| x
ight|$
稳定焦点（渐进稳定）、不稳定焦点、中心点（稳定）：通解为：$r=C{{e}^{frac{alpha }{eta } heta }}$
定理8.5（初等奇点类型的判定）对于系统$
frac{d}{{dt}}left(egin{array}{cccc}
x \
y
end{array}
ight)
$$
=Aleft(egin{array}{cccc}
x \
y
end{array}
ight)
$,其中$
A=left(egin{array}{cccc}
a & b \
c & d
end{array}
ight)
$为常矩阵，记$p=-tr[A]=-(a+d)$和$q=left| A
ight|=ad-bc$，则我们有：
（1）当$q<0$时，$(0,0)$为鞍点；
（2）当$q>0$且${{p}^{2}}>4q$时，$(0,0)$为两向结点；
（3）当$q>0$且${{p}^{2}}=4q$时，$(0,0)$为单向结点或星形结点；
（4）当$q>0$且$0<{{p}^{2}}<4q$时，$(0,0)$为焦点；
（5）当$q>0$且$p=0$时，$(0,0)$为中心点
此外，在情形$(2)sim (4)$中，当$p>0$时奇点$(0,0)$是稳定的，而当$p<0$时则是不稳定的。