一、概念
动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。
1、试用情况：
2、解决步骤：
1、拆分问题
2、找状态（初始值）
3、状态转移方程
3、DP问题的分类：
1、线性dp 2、背包 3、区间dp 4、数位dp 5、状压dp 6、树形dp 7、概率dp
4、具体典例：
A线性DP:
最长上升子序列（LIS）
/*最长上升子序列LIS---hdu1257*/ #include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #define maxn 100005 using namespace std; int dp[maxn],num[maxn];//dp[i]定义为以ai为结尾的最长上升子序列的长度 int main() { int n,i,j,ans; //freopen("Atext.in","r",stdin); while(cin >> n) { ans=0; for(i=0;i<n;i++) { cin >> num[i]; dp[i]=1; //每一个以ai为结尾的LIS只有两种情况，一种是他自身 } //另一种是它前面比它小的数的LIS加上ai for(i=0;i<n;i++) { //dp[i]=1的赋值也可以放到这里 for(j=0;j<i;j++) //对每一个ai的前面走到它的路径循环记录 { if(num[j]<num[i]) //选出以ai结尾的最长的路径保存 dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]); } ans=max(dp[i],ans); //记录各个路径的最大值，即LIS } cout << ans << endl; /*O(nlogn)的方式--利用二分查找 dp[i]:长度为i+1的上升子序列中末尾元素的最小值(不存在的话就是INF); fill(dp,dp+n,INF); for(int i=0;i<n;i++) { *lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i];//找到>=a[i]的第一个元素，并用a[i]替换； } cout<<lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp<<endl;//找到第一个INF的地址减去首地址就是最大子序列的长度； */ } return 0; }
最长公共序列（LCS）
/*LCS----最长公共子序列*/ #include <bits/stdc++.h> #define maxn 1005 using namespace std; char s[maxn],t[maxn]; //待判断的字符串数组 int dp[maxn][maxn]; //si与tj对应的公共子序列的长度 int main() { int i,j,n,m; cin >> n >> m; for(i=0;i<n;i++) cin >> s[i]; for(j=0;j<m;j++) cin >> t[j]; for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<m;j++) { if(s[i]==t[j]) dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1; else dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]); } } cout << dp[n][m] << endl; return 0; } //自我心得：感觉无论是01背包还是LCS的二维数组都记录了每一种可能组合的状态，并且是该组合状态下的最优化值 //通过记录每一步状态的转移，一步步递推出最终的结果。
B.背包（有背包九讲）:
01背包
/*01背包(递归版)*/ #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #define maxn 1005 using namespace std; int n,W; //int dp[n][j]; 第i个物体，背包容量为j时的价值 int w[maxn],v[maxn]; int res(int i,int j) //第i个物体，背包剩余容量j; { /*if(dp[i][j]>=0) 记忆化搜索，每种情况只计算一次 return dp[i][j];*/ int ans; //背包里的总价值 if(i==n) //i个物体取或不取得情况都试完了; ans=0; else if(j<w[i]) //此物体的重量大于背包容量，一定不能取，直接下一个 ans=res(i+1,j); else { //取或不取的价值--递归调用 ans=max(res(i+1,j),res(i+1,j-w[i])+v[i]); } //dp[i][j]=ans;参数的组合只有n*W种，计算过的组合就存起来 return ans; } int main() { int i,j; //memset(dp,-1,sizeof(dp)); cin >> n >> W; //n个物体，背包容量为W for(i=0;i<n;i++) cin >> w[i] >> v[i] ;//输入每个物体的容量和价值 cout << res(0,W) << endl;//从第i个物体开始，挑选总重小于等于j的部分; return 0; }
/*01背包(普通版)*/ #include <bits/stdc++.h> #define maxn 100 using namespace std; int w[maxn],v[maxn];//n个物体的重量及价值 int dp[maxn][maxn]; //前i个物体在背包容量为j的情况下的价值的最大值 int main() { int n,W,i,j; cin >> n >> W; memset(dp,0,sizeof(dp)); for(i=0;i<n;i++) cin >> w[i]; for(j=0;j<n;j++) cin >> v[j]; for(i=0;i<n;i++) //无论从前往后递推还是从后往前递推，其实都是记录所有的状态 { for(j=0;j<=W;j++) { if(w[i]>j) dp[i+1][j]=dp[i][j]; //dp[i+1][j]:从0到i这i+1个物体中选出总重量不超过j的物体时总价值的最大值 else dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]); } }/*01 背包循环利用单数组实现 for(i=0;i<n;i++) { for(j=W;j>=W[i];j--) //循环利用一个数组，只记录前i个物体在背包的各种状态下的最优值。 { //即dp数组在背包的各个容量下的最优值。 dp[j]=max(dp[j],dp[j-W[i]]+v[i]); } } */ cout << dp[n][W] << endl; return 0; } //自我心得：n个物体与j容量的背包，组合情况有n*j种，dp二维数组其实就是记录每一种状态下的最优化的值； //然后通过状态转移方程对状态一步步将结果递推转移出来；
完全背包
#include <bits/stdc++.h> #define maxn 100 /*完全背包*/ using namespace std; int dp[maxn][maxn]; int w[maxn],v[maxn]; int main() { int n,W,i,j; cin >> n >> W; for(i=0;i<n;i++) cin >> w[i]; for(i=0;i<n;i++) cin >> v[i]; for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<=W;j++) { if(j<w[i]) dp[i+1][j]=dp[i][j]; else //在dp[i+1][j]的计算中选择k(k>=1)个的情况，与在dp[j+1][j-W[i]]的计算中选择k-1个的情况是相同的。 dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]); } }/* for(int i=0;i<n;i++) { for(int j=w[i];j<=W;j++)//针对背包容量dp，只存最优值。 { dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]); } } */ cout << dp[n][W] << endl; return 0; } //自我心得：感觉单数组就是针对每一种背包容量情况，循环n个物体，将dp数组里不断地存入最优化的值 //PS：还可利用滚动数组，当数据限制改变也可用DP针对不同的价值计算最小的重量 //如：dp[i+1][j]:前i个物体中挑出价值总和为j时总重量的最小值。
数位dp及状压dp见（二）……