【数论学习笔记】同余

　　洛谷P1082题解：https://www.luogu.org/blog/costudy/solution-p1082　

　　知识：

　　费马小定理：若 p 是质数，则对于任意整数 a ，有 a^p = a (mod p)，也就是a^p-1=1 (mod p)。　　

　　Bézout定理：对于任意整数 a , b ，存在一对整数 x , y ，满足 ax+by=gcd(a,b) 。

　　Bézout定理计算x，y的方法：拓展欧几里得算法：

　　　　代码如下（两种办法，更喜欢2）

inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0) {x=1,y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;x=y;y=z-(a/b)*y;
    return d;
}


long long x, y;
inline void exgcd2(long long a,long long b){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    long long xx=x;
    x=y;
    y=xx-a/b*y;
}

　　　　证明在开头题解里。

　　乘法逆元：如果 ax≡1 (mod p), 且 gcd(a,p)=1（a与p互质)，则称a关于模p的乘法逆元为x。

　　　　求法：费马小定理，拓展欧几里得，线性递推。

　　　　线性递推代码如下（1到n关于mod p的乘法逆元）洛谷p3811：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3*1e6+10;
int inv[maxn],n,p;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    inv[1]=1;
    printf("1
");
    for(int i=2;i<=n;i++){
        inv[i]=(long long)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        printf("%d
",inv[i]);
    }
    return 0;
}

 　　　　费马小定理方法，如果p为质数，b*b^(p-2)=1，此时b^(p-2)为b的乘法逆元。