Codeforces 1105C （dp）

传送门

题意：

有一个长度为$n$的数列的未知数列，数列的每一个数的值都在区间$[l,r]$的范围内。现在问你能够构成多少个这样的数组，使得数组内的所有数的和能够被$3$整除。

题目分析：

在这个题中，我们不能纠结在具体的数值的变化，我们需要关注数量的变化。

首先，涉及到这类整除性的问题，我们需要将它转化成余数的问题。那么我们可以发现，这些数的余数只会在$[0,2]$的范围之间变化，因此我们只需分别考虑这三种情况。

我们考虑这样一个问题。如果一个数$x$能够被$3$整除，则我们设$x=3k$。而因为$lle x le r$，则我们有$frac{l}{3}le kle frac{r}{3}$。则易得，能被$3$整除的数的个数为：$frac{r}{3}-frac{l}{3}$。

同理有，模$3$余$1$的个数为：$frac{r-1}{3}-frac{l-1}{3}$

模$3$余$2$的个数为：$frac{r-2}{3}-frac{l-2}{3}$

得到个数之后，我们就可以用$dp$对答案进行转移。

我们设$dp[i][j]$为数列的前$i$个数字被取了后，余数为$j$的方案数，$cnt[i]$为在区间$[l,r]$中，模$3$余$i$的个数。

则我们容易发现，当前的状态，是由前一个状态分别加上余$0$，余$1$，余$2$的方案数转移过来的，即有状态转移方程：$dp[i][j+k]+=dp[i-1][j]*cnt[k]$。

因此我们可以用$mathcal{O}(n)$的时间复杂度进行转移，最终的答案即为$dp[n][0]$

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 200005

using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[maxn][3];
const int mod=1e9+7;
int main()
{
    int n,l,r;
    scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);
    l--;
    dp[0][0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<3;j++){
            ll w=(r-j+3)/3-(l-j+3)/3;
            for(int k=0;k<3;k++){
                dp[i+1][(k+j)%3]=(dp[i+1][(k+j)%3]+dp[i][k]*w)%mod;
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][0]<<endl;
    return 0;
}