1、一维前缀和问题
这个优化主要是用来求一个序列a中，a[i] + a[i + 1] + ..... + a[j - 1] + a[j] 的和的问题。
具体原理就是用sum[i]来表示"a[1] + a[2] + a[3] + ...... + a[i]"，其中sum[0] = 0，则(a[i] + a[i +1] + .... + a[j])即等于sum[j] - sum[i - 1]。
2、二维前缀和问题
对于一个矩阵（即一个二维数组），我们求出子矩阵[x1 ~ x2][y1 ~ y2]的和。
sum[i][j]为子矩阵[1 ~ i][1 ~ j]的和。
根据容斥原理：sum[0][j] = sum[i][0] = 0;
a[x1 ~ x2][y1 ~ y2] = sum[x2][y2] - sum[x1 - 1][y2] - sum[x2][y1 - 1] + sum[x1 - 1][y1 - 1]
容斥原理：在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。