火柴排队

描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为：，其中表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

格式

输入格式

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

样例1

样例输入1[复制]

4
2 3 1 4
3 2 1 4

样例输出1[复制]

样例2

样例输入2[复制]

4
1 3 4 2
1 7 2 4

样例输出2[复制]

限制

每个测试点1s。

提示

样例1说明

最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

样例2说明

最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

数据范围

对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；
对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；
对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ 2^31 − 1。

来源

NOIP 2013 提高组 Day 1

思路：

最开始思考这个问题肯定会想什么情况下所谓的距离和最小。如果你足够聪明可能第一反应应该是在各个序列中排名一样的数对齐其和距离和最小。如果你不能立刻看出来也没有关系，咱们可以证明一下：

（1）设序列只有两个数分别是a,b;c,d;且c < d,a < b

令S1=(a-c)(a-d)+(b-d)(b-d)，S2=(a-d)(a-d)+(c-b)(c-b),则：

S1-S2=2ad+2bc-2ac-2bd=2a(d-c)+2b(c-d)=2(d-c)(a-b)。由已知条件易知S1 < S2。

（2）由数学归纳法可以知道假设k个都是按序拍距离最小，第K+1项也一定是满足这样的顺序才能保证最小。

移动的时候可以将一个火柴序列不同，只移动另外一个序列。于是可以构造一个数组C，C[i]表示第i个数应该移动到C[i]位置。于是问题转换成对C[i]数组排序，每次可以交换相邻两个数，问最少需要移动多少次的问题了，也就是求这个序列的逆序和问题。

　　还要理解为什么逆序对才是最优解：假设这个c[]数组中的元素分别是 c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7 从左向右依次搜索，当碰到一个元素需要向前移动的时候，就让它向前移动到应有的的位置，由于此时这个元素是第一个搜到的需要前移的元素，所以之前的到它应有位置的之间的元素都要向后移，这个移动不会使答案变劣，很显然（如果这个词伤害了你，我表示深深的歉意），这是逆序对的个数。

　　所以答案就是sigma(逆序对) =_=

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 using namespace std;
 8 typedef long long LL;
 9 const LL MOD=99999997;
10 const LL maxn=100005;
11 LL ANS;
12 LL tar[maxn];
13 LL BIT[maxn];
14 LL N;
15 struct node1{ // A 
16     LL num;
17     LL pos;
18 }a[maxn];
19 struct node{ // B 
20     LL num;
21     LL pos;
22 }b[maxn];
23 LL cmp(const node&w,const node&e){// B
24     if(w.num<e.num) return 1;
25     return 0;
26 }
27 LL cmp1(const node1&w,const node1&e){ // A
28     if(w.num<e.num) return 1;
29     return 0;
30 }
31 LL lowbit(int x){
32     return x&(-x);
33 }
34 int sum(int k){
35     LL ans=0;
36     for(LL i=k;i>0;i-=lowbit(i))
37         ans+=BIT[i],ans%=MOD;
38     return ans;
39 }
40 void updata(int k){
41     for(LL i=k;i<=N;i+=lowbit(i))
42         BIT[i]++;
43 }
44 int main(){
45     //freopen("match.in","r",stdin);
46     //freopen("match.out","w",stdout);
47     scanf("%d",&N);
48     for(int i=1;i<=N;i++){
49         scanf("%d",&a[i].num);
50         a[i].pos=i;    
51     }
52     for(int i=1;i<=N;i++){
53         scanf("%d",&b[i].num);
54         b[i].pos=i;
55     }
56     sort(a+1,a+N+1,cmp1);
57     sort(b+1,b+N+1,cmp);
58     for(int i=1;i<=N;i++){//重点 
59         tar[b[i].pos]=a[i].pos;
60     }
61     
62     for(int i=1;i<=N;i++){
63         updata(tar[i]%MOD);
64         ANS+=(i-sum(tar[i]%MOD))%MOD;
65     }
66     cout<<ANS%MOD;
67     return 0;
68 }