约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数（从1开始报数)，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。
首先从编程的角度声明一下上面描述中的一点，就n,k,m这些都是下标从1开始的。而在实际编程中，我们一般将下标从0开始。所以这一点要注意一下。
第一种方法：使用队列。
这种解法直观，简单。首先你要明白队列这种数据结构，是一种先进先出的线性结构，如同生活中的排队，先到先处理。
明白了队列的结构。下面讨论一下如何应用队列解决约瑟夫环的问题。为了方便，我们假设从第1个人开始报数。从其定义中可知，每数到m的那个人退出，那么对于队列，我们首先从队头开始报数，
（1）如果不是m，把这个数从队头拿掉放到队尾；
（2）如果是m，那么让这个元素出队列；
如此循环下去，直接队列中的所有元素都出队列。
例子：
队列a，b，c 其中a为队头，c为队尾，报数为2时出队列
处理队头元素a，报数为1，不为2，这时取出队头元素a放到队尾，队列变为b,c,a 其中b为队头，a为队尾
处理队头元素b，报数为2，这时让b出队列，队列变为c,a 其中c为队头，a为队尾，报数从新开始，即下次c报数1，a报数2
...如此循环下去，直到所有元素出列，队列长度为0
下面再考虑如何从第k个元素开始，其实就是把第k个当作队头来使用就可以了。下面的c#代码先把数组元素放到一个队列中，然后在放的时候，先放第k个，依次放下去即可。这样第k个元素即队列的队头，也即从第k个元素开始报数。
c#代码：
private static void JosephCircle(int[] numbers, int k, int m) { Queue<int> numbersQueue = new Queue<int>(); k = k - 1; for (int i = k; i < numbers.Length; i++) { numbersQueue.Enqueue(numbers[i]); } for (int i = 0; i < k; i++) { numbersQueue.Enqueue(numbers[i]); } int flag = 0; while (numbersQueue.Count > 0) { flag++; if (flag != m) { numbersQueue.Enqueue(numbersQueue.Dequeue()); } else { Console.WriteLine(numbersQueue.Dequeue()); //输出出列项的编号，下标从1开始 flag = 0; } } }
上面的代码中，直接使用了.net 类库中的Queue类，当然了你也可以自己实现一个队列的数据结构，比如用链表，此处不作示例了。
第二种方法：递归
也可以采用递归的算法，这里我们只关注最后退出的那个人。
仍然假设从第一个人开始报数，每当数到m时退出：（下标从0开始）
如果只有一个人，那么最后退出的肯定就是这个人，下标为0。
…
如果有x个人，每当数到m时退出，且已知最后退出的人的下标为i。
那么当有x+1个人的时候，最后退出的人的下标应该是多少呢？下面我们来分析一下：
有x+1个人的时候，数到第m个(下标为m-1的人），这个人退出，注意此时只剩x个人了，然后从下一个人开始报数，这个人的下标为m%(x+1)，这个人即为当有x个人的情况下，第一个开始报数的人。所以有：
x+1个人的时候的下标为m%(x+1)的人
就是
x个人的时候第一个报数的人
也就是说
x个人时候，下标为0的人，其实就是x+1个人的时候，下标为m%(x+1)的那个人
那么如果x个人的时候最后退出的人的下标为i，如果把这个人放回到x+1个的情况的时候，这个人的下标就应该是 (m % (x + 1) + i) % (x + 1) = (m + i) % (x + 1)
所以可以推导出一个公式，假设有x个元素时，最后退出的元素为f(x),那么有
f(x+1) = (m+f(x))%(x+1)
如果这里的推导没有看明白，可以参考一下文章最后的附录部分的推导，是从其他地方摘过来的。
所以有如下c#代码：
private static int GetIndex(int itemCount, int m) { if (itemCount == 0) { return 0; } else { return (GetIndex(itemCount - 1, m) + m) % itemCount; } }
现在再考虑从第k个人开始报数的情况，我们只需要在得到最后退出人的下标后稍微处理一下即可，然后根据下标输出相应的元素：
private static void JosephCircleRecurcively(int[] numbers, int k, int m) { int winnerIndex = GetIndex(numbers.Length, m); //输出最后一个出列项的编号，下标从1开始 Console.WriteLine(numbers[(winnerIndex + k - 1) % numbers.Length]); }
注意，递归是比较占用内存的，所以如果数据量特虽巨大，这肯定是不合适的。下面一种直接求解的算法比较高效。
第三种方法：根据递归公式直接求解。
依然是只关注最后退出的那个人。
有了公式，那么可以一个for循环直接求解，代码如下：
private static void JosephCircleMath(int[] numbers, int k, int m) { int winnerIndex = 0; for (int i = 2; i <= numbers.Length; i++) { winnerIndex = (winnerIndex + m) % i; } //输出最后一个出列项的编号，下标从1开始 Console.WriteLine(numbers[(winnerIndex + k - 1) % numbers.Length]); }
当然了，这是最高效的算法。
最后是Main方法中的测试调用代码：
static void Main(string[] args) { int[] numbers = { 10, 20, 30, 40, 50, 60 }; int m = 3; int k = 2; JosephCircle(numbers, k, m); JosephCircleMath(numbers, k, m); JosephCircleRecurcively(numbers, k, m); Console.ReadLine(); }
附录：
下面是百度百科上递归公式的推导过程，供参考：
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到m-1的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人（编号一定是（m-1）%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）：
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
并且从k开始报0。
我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-3 --> n-3
k-2 --> n-2
序列1：0,1,2,3 … n-2,n-1
序列2：0,1,2,3 … k-2,k，…，n-2,n-1
序列3：k,k+1,k+2,k+3，…，n-2,n-1,0，1,2,3，…，k-2,
序列4：0,1,2,3 …，5,6,7,8，…，n-3,n-2
变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：
∵ k=m%n;
∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n
∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n
得到 x‘=(x+m)%n
如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].
递推公式：
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)