COJ 1208 矩阵快速幂DP

　　题目大意：

f(i) 是一个斐波那契数列，求sum(f(i)^k)的总和

由于n极大，所以考虑矩阵快速幂加速

我们要求解最后的sum[n]

首先我们需要思考

sum[n] = sum[n-1] + f(i+1)^k

那么很显然sum[n-1]是矩阵中的一个元素块

那么f(i+1)^k怎么利用f(i) , f(i-1)来求

f(i+1)^k = （f(i) + f(i-1)) ^ k

假如k = 1 , 可以看出f(i+1） = f(i-1) + f(i) (1,1)

k = 2 , 可以看出f(i+1)^2 = f(i-1)^2 + 2*f(i-1)*f(i) + f(i)^2 (1 , 2 , 1)

后面只列出前面的因子 k=3 1 , 3 , 3 , 1

　　　　　　　　　　k =4 1, 4 ,6,4,1

　　　　　　　　很容易看出后一行的数是由前一行的数当前列和前一列的相加

那么这里要放入矩阵中思考的就是 f(i-1)^k , f(i-1)^(k-1)*f(i) ...... f(i)^k , sum[i] 这样 k+2 个元素

那么做矩阵快速幂就是利用f(i-1)^k , f(i-1)^(k-1)*f(i) ...... f(i)^k , sum[i] 乘以某一个矩阵得到

f(i)^k , f(i)^(k-1)*f(i+1) ...... f(i+1)^k , sum[i+1]

自己一个个递推就会渐渐利用上述的关系轻松得到这个矩阵

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 
 4 using namespace std;
 5 #define N 100
 6 #define ll long long
 7 const int MOD = 1000000007;
 8 int n , k , l;
 9 int num[N];
10 
11 struct Matrix{
12     int a[N][N];
13     Matrix operator*(const Matrix &m) const{
14         Matrix ans ;
15         for(int i=0 ; i<l ; i++){
16             for(int j=0 ; j<l ; j++){
17                 ans.a[i][j] = 0;
18                 for(int k=0 ; k<l ; k++){
19                     ans.a[i][j] += ((ll)a[i][k] * m.a[k][j])%MOD;
20                     ans.a[i][j] %= MOD;
21                 }
22             }
23         }
24         return ans;
25     }
26 }st;
27 
28 Matrix q_pow(Matrix b , int t)
29 {
30     Matrix ans;
31     memset(ans.a , 0 , sizeof(ans));
32     for(int i=0 ; i<l ; i++) ans.a[i][i] = 1;
33     while(t)
34     {
35         if(t&1) ans = ans*b;
36         b = b*b;
37         t>>=1;
38     }
39     return ans;
40 }
41 
42 void build_matrix()
43 {
44     memset(st.a , 0 , sizeof(st.a));
45     st.a[l-2][0] = 1;
46     for(int i=1 ; i<l-1 ; i++){
47         for(int j=l-2 , t=0 ; t<=i ; t++,j--){
48             st.a[j][i] = st.a[j][i-1]+st.a[j+1][i-1];
49         }
50     }
51     for(int i=0 ; i<l-1 ; i++)
52         st.a[i][l-1] = st.a[i][l-2];
53     st.a[l-1][l-1] = 1;
54 }
55 
56 int main()
57 {
58     #ifndef ONLINE_JUDGE
59         freopen("a.in" , "r" , stdin);
60     #endif // ONLINE_JUDGE
61     int T;
62     scanf("%d" , &T);
63     while(T--)
64     {
65         scanf("%d%d" , &n , &k);
66         l = k+2;
67         build_matrix();
68         for(int i=0 ; i<l-1 ; i++){
69             num[i] = 1;
70         }
71         num[l-1] = 2;
72         if(n<=2) printf("%d
" , n);
73         else{
74             Matrix ans = q_pow(st , n-2);
75             int ret = 0;
76             for(int i=0 ; i<l ; i++){
77                 ret += num[i]*ans.a[i][l-1]%MOD;
78                 ret %= MOD;
79             }
80             printf("%d
" , ret);
81         }
82     }
83     return 0;
84 }