[NOIP2017]逛公园
题目描述
策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张N个点M条边构成的有向图，且没有 自环和重边。其中1号点是公园的入口，N号点是公园的出口，每条边有一个非负权值， 代表策策经过这条边所要花的时间。
策策每天都会去逛公园，他总是从1号点进去，从N号点出来。
策策喜欢新鲜的事物，它不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个 特别热爱学习的好孩子，它不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果1号点 到N号点的最短路长为d，那么策策只会喜欢长度不超过d+K的路线。
策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮它吗？
为避免输出过大，答案对P取模。
如果有无穷多条合法的路线，请输出−1。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含一个整数 T, 代表数据组数。
接下来T组数据，对于每组数据： 第一行包含四个整数 N,M,K,P，每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来M行，每行三个整数ai,bi,ci，代表编号为ai,bi的点之间有一条权值为ci的有向边，每两个整数之间用一个空格隔开。
输出格式：
输出文件包含 T 行，每行一个整数代表答案。
输入输出样例
说明
【样例解释1】
对于第一组数据，最短路为 3。 1 – 5, 1 – 2 – 4 – 5, 1 – 2 – 3 – 5 为 3 条合法路径。
【测试数据与约定】
对于不同的测试点，我们约定各种参数的规模不会超过如下
| 测试点编号 | T | N | M | K | 是否有0边 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 5 | 10 | 0 | 否 |
| 2 | 5 | 1000 | 2000 | 0 | 否 |
| 3 | 5 | 1000 | 2000 | 50 | 否 |
| 4 | 5 | 1000 | 2000 | 50 | 否 |
| 5 | 5 | 1000 | 2000 | 50 | 否 |
| 6 | 5 | 1000 | 2000 | 50 | 是 |
| 7 | 5 | 100000 | 200000 | 0 | 否 |
| 8 | 3 | 100000 | 200000 | 50 | 否 |
| 9 | 3 | 100000 | 200000 | 50 | 是 |
| 10 | 3 | 100000 | 200000 | 50 | 是 |
对于 100%的数据,1≤P≤109,1≤ai,bi≤N,0≤ci≤1000。
数据保证：至少存在一条合法的路线。
题解：本题的思路比较直接，沿着第一感觉一步一步做下去就可以了。
首先肯定要先跑最短路。然后呢？发现K只有50，所以我们一定是要从K入手。所以考虑DP，令f[i][j]表示走到i，多走的长度是j的方案数。（多走 指的是比最短路多的部分的长度）。
但是发现这个DP方程是存在环的，因为最短路径图上的边以及零边都是可以同行转移的（从f[..][j]转移到f[..][j]），所以怎么办呢？拓扑排序呗！
我们将最短路径图上的边以及零边都拿出来跑拓扑排序，然后让这些边在转移时必须沿着拓扑序转移即可。特别地，如果一个零环位于一条从1到n长度<=d+K的路径上，则输出-1即可。
代码有点丑了。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <utility>
#define mp(A,B) make_pair(A,B)
using namespace std;
const int maxn=100010;
const int maxm=200010;
int n,m,cnt,K,P,tot,ans;
int to[maxm],next[maxm],val[maxm],head[maxn],dis[maxn],vis[maxn],d[maxn],q[maxn<<1],f[51][maxn];
int to2[maxm],next2[maxm],val2[maxm],head2[maxn],dis2[maxn];
priority_queue<pair<int,int> > pq;
inline int rd()
{
int ret=0; char gc=getchar();
while(gc<'0'||gc>'9') gc=getchar();
while(gc>='0'&&gc<='9') ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar();
return ret;
}
inline void add(int a,int b,int c)
{
to[cnt]=b,val[cnt]=c,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt;
to2[cnt]=a,val2[cnt]=c,next2[cnt]=head2[b],head2[b]=cnt++;
}
inline void upd(int &x,int y)
{
x=(x+y)%P;
}
void work()
{
n=rd(),m=rd(),K=rd(),P=rd();
int i,j,k,a,b,c,u;
memset(head,-1,sizeof(head)),memset(head2,-1,sizeof(head2)),cnt=tot=ans=0;
for(i=1;i<=m;i++) a=rd(),b=rd(),c=rd(),add(a,b,c);
//1
memset(vis,0,sizeof(vis)),memset(dis,0x3f,sizeof(dis)),memset(d,0,sizeof(d));
pq.push(mp(0,1)),dis[1]=0;
while(!pq.empty())
{
u=pq.top().second,pq.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=1;
for(i=head[u];i!=-1;i=next[i]) if(dis[to[i]]>dis[u]+val[i]) dis[to[i]]=dis[u]+val[i],pq.push(mp(-dis[to[i]],to[i]));
}
//2
memset(dis2,0x3f,sizeof(dis2)),memset(vis,0,sizeof(vis));
pq.push(mp(0,n)),dis2[n]=0;
while(!pq.empty())
{
u=pq.top().second,pq.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=1;
for(i=head2[u];i!=-1;i=next2[i]) if(dis2[to2[i]]>dis2[u]+val2[i]) dis2[to2[i]]=dis2[u]+val2[i],pq.push(mp(-dis2[to2[i]],to2[i]));
}
//3
for(i=1;i<=n;i++) for(j=head[i];j!=-1;j=next[j]) if(dis[i]+val[j]==dis[to[j]]) d[to[j]]++;
for(i=1;i<=n;i++) if(!d[i]) q[++tot]=i;
for(j=1;j<=tot;j++)
{
u=q[j];
for(i=head[u];i!=-1;i=next[i]) if(dis[u]+val[i]==dis[to[i]])
{
d[to[i]]--;
if(!d[to[i]]) q[++tot]=to[i];
}
}
for(i=1;i<=n;i++) if(d[i]&&dis[i]+dis2[i]<=dis[n]+K)
{
printf("-1
");
return ;
}
//DP
memset(f,0,sizeof(f));
f[0][1]=1;
for(k=0;k<=K;k++)
{
for(i=1;i<=tot;i++) for(u=q[i],j=head[u];j!=-1;j=next[j]) if(dis[u]+val[j]==dis[to[j]])
{
upd(f[k][to[j]],f[k][u]);
}
for(i=1;i<=n;i++) for(j=head[i];j!=-1;j=next[j]) if(dis[i]+val[j]!=dis[to[j]]&&k+dis[i]+val[j]-dis[to[j]]<=K)
{
upd(f[k+dis[i]+val[j]-dis[to[j]]][to[j]],f[k][i]);
}
}
for(i=0;i<=K;i++) upd(ans,f[i][n]);
printf("%d
",ans);
}
int main()
{
//freopen("park.in","r",stdin);
//freopen("park.out","w",stdout);
int T=rd();
while(T--) work();
return 0;
}