目的
用幂级数 (也就是 OI 中的 "多项式") 来近似地表示一个函数.
大致思路
假设我们需要表示出的函数为 (g(x)), 最后得到的多项式为 (f(x)).
容易得到, 若 (f(x)) 的任意阶导数都与 (g(x)) 的对应阶导数相等, 那么 (f(x) Leftrightarrow g(x))
所以我们在 (g(x)) 的定义域内取一个数 (x_0), 然后列出方程
[egin{aligned}
f(x_0) &= g(x_0) \
f'(x_0) &= g'(x_0) \
f''(x_0) &= g''(x_0) \
& vdots \
f^{(n)}(x_0) &= g^{(n)}(x_0) \
f^{(n+1)}(x_0) &= g^{(n+1)}(x_0) \
& vdots \
end{aligned}
]
我们取前若干个方程, 解出 (f(x)) 的系数, 就可以近似地表示出 (g(x)) 了. 即
[g(x) = f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + xi
]
其中 (xi) 为余项.
公式
若将 (g(x)) 在 (x_0) 处进行泰勒展开, 则有
[egin{aligned}g(x) &= frac{g(x_0)}{0!} + frac{g^{(1)}(x_0)}{1!} (x - x_0) + frac{g^{(2)}(x_0)}{2!} (x - x_0)^2 + frac{g^{(3)}(x_0)}{3!} (x - x_0)^3 + cdots + frac{g^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n + xi \&= sum_{i ge 0} frac{g^{(i)}(x_0)}{i!}(x - x_0)^iend{aligned}
]