[Luogu4550] 收集邮票

题目描述

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。
现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

输入输出格式

输入格式：

一行,一个数字N
N<=10000

输出格式：

要付出多少钱.
保留二位小数

输入输出样例

输入样例#1： 

3

输出样例#1： 

21.25

---

提交地址 ： Luogu4550

---

题解：

简单的期望DP；

我们设f[i]表示，已经买了i张邮票，我们要买到n张，还需要买多少次；

f[i] = (i / n) * f[i] + ((n - i) / n) * f[i+1] + 1,什么意思？

我们有 i/n 的可能买到已经买过的邮票， 有 (n - i) / n 的可能买到没有买过的邮票乘上相应的数量再加上用的这一次就是结果；

化简得到 ： f[i] =  f[i+1] + n / (n - i);

这样f[n] = 0， 就可以递推求得f数组；

我们再设g[i]， 表示我们已经买了i个邮票，我们要买到n张，还需要多少钱；

g[i] = (i / n) * (g[i] + f[i]) + ((n - i) / n) * (g[i+1] + f[i+1]) + 1,什么意思？

我们有i张邮票，有 i / n 的可能买到已经买过的邮票， 有 (n - i) / n 的可能买到不一样的邮票， 乘的后面的g[i] + f[i]是什么意思？

我们买的是以前买过的，所以乘上g[i] + f[i] * 1，第二个同理； 

---

Code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

double n;

double f[10010], g[10010];

int main()
{
    cin >> n;
    
    for (register int i = n - 1 ; i >= 0 ; i --)
    {
        f[i] = f[i+1] + n / (n - i);
    }
    
    for (register int i = n - 1 ; i >= 0 ; i --)
    {
        g[i] = g[i+1] + f[i+1] + (i / (n - i)) * f[i] + n / (n - i);
    }
    
    printf("%.2lf", g[0]);
    return 0;
}