矩阵条件数学习[转载]

1.定义

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A‖·‖A^(-1)‖，对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。函数 cond(A,1)、cond(A)或cond(A inf) 是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大矩阵越病态。

作用：表示了矩阵计算对于误差的敏感性。

条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。

比如线性方程组

的解是(x,y)=(0.0,0.1),

而

的解是(x,y)=(-0.17,0.22)

可见b很小的扰动就引起了x很大的变化，这就是A矩阵条件数大的表现。

一个极端的例子，当A奇异时，条件数为无穷，这时即使不改变b，x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值，x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多，x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化，这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数。

事实上，正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。

上图中的推导过程还是比较容易理解的，能够推导出这个条件数的公式——图中的相对误差放大因子。

其中无穷(最大)范数是指取矩阵中的max值:

之后有给出了一个证明，对于条件数≈1的，基本上A和b的扰动对于解x没有很大的影响，可以忽略，即对于非奇异矩阵。

对于奇异矩阵来说，扰动是非常大的，是病态矩阵。

也就是说在计算矩阵的条件数的时候，实际上如果下标是2的话，那么就是谱范数，需要求转置*当前的最大特征值。

另外在衡量矩阵的大小时，使用的是F范数。

也就是矩阵中根号下每个元素的平方和。