HDU1588

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1588

题目大意：g（i）= k * i + b. 给定 k 和 b，求0 <= i < n 的斐波那契数 F（g（i））的和模1,000,000,000.

解题思路：

　　矩阵快速幂再加上二分矩阵公式。

　　首先，我们需要认识到的一点是：对于这种求斐波那契数的题，很多都是用矩阵快速幂根据如下公式来计算的。

                                         

　　我们在此把中间那个01矩阵设为A。要求 The_Sum_of_F（g（i）），只需求出 A^(g(0)-1) + A^(g(1)-1) + A^(g(2)-1) + ... + A^(g(n-1)-1) = A^(b-1) + A^(i+b-1) + A^(2*i+b-1) + ...... = A^(b-1) + A^(b-1) * (A^i + A^(2*i) + A^(3*i) + ......). A^(b-1) = Ab, A^i = Ai,这些都可以用矩阵快速幂求出来。那么式子就变成：Ab＋Ab * (Ai + Ai^2 + Ai^3 + ......).加粗的那部分用二分矩阵公式递归求出。下面给出二分矩阵公式的一个例子：A^1+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6=(A^1+A^2+A^3)+A^3(A^1+A^2+A^3)。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1000;
struct Matrix {
    ll mat[4][4];
};
Matrix E;
ll M;
Matrix Multiply(Matrix x,Matrix y) {    
    Matrix temp;
    memset(temp.mat, 0, sizeof(temp.mat));
    for (int i = 0; i < 2; i++)
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            for (int k = 0; k < 2; k++) {
                temp.mat[i][j] += (x.mat[i][k] * y.mat[k][j]%M);
                temp.mat[i][j]%=M;
            }
        }
    return temp;
}
Matrix Add(Matrix x,Matrix y){
    Matrix temp;
    for (int i = 0; i < 2; i++){
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            temp.mat[i][j]=(x.mat[i][j]+y.mat[i][j])%M;
        }
    }
    return temp;
}
Matrix Fast_Power(Matrix a, int m) {        //求a的m次幂
    Matrix res;
    memset(res.mat, 0, sizeof(res.mat));
    for (int i = 0; i < 2; i++)        res.mat[i][i] = 1;
    while (m) {
        if (m & 1)    res = Multiply(res, a);
        m >>= 1;
        a = Multiply(a, a);
    }
    return res;
}
Matrix Binary_add(Matrix B,int t){
    if(t==1)    return B;
    if(t%2==1){
        return Add(Multiply(Binary_add(B,(t-1)/2),Add(E,Fast_Power(B,(t-1)/2))),Fast_Power(B,t));
    }
    else
        return Multiply(Binary_add(B,t/2),Add(E,Fast_Power(B,t/2)));
}
int main()
{
    E.mat[0][0]=E.mat[1][1]=1;
    E.mat[0][1]=E.mat[1][0]=0;
    Matrix A;
    A.mat[0][0]=A.mat[0][1]=A.mat[1][0]=1;
    A.mat[1][1]=0;
    ll k,b,n,t;
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld",&k,&b,&n,&M)==4){
        Matrix Ab,B,ans;
        B=Fast_Power(A,k);
        Ab=Fast_Power(A,b);
        ans=Add(Ab,Multiply(Ab,Binary_add(B,n-1)));
        printf("%lld
",ans.mat[1][0]);
    }
    return 0;
}