平面几何趣题集萃

以下收集暑假期间遇到的平面几何题，以及解法的一些提示。给未来的自己复习参考用。

多图片预警（请注意流量）

目录： 

Part 0：杂题(9) 

Part 1：等腰三角形中斯特瓦尔特定理的应用(8)

Part 2：梅涅劳斯定理(3)

Part 0：杂题 

1、如图，锐角三角形ABC中，AD垂直于BC。在线段AD上任取一点E，连接BE并延长交AC于F，连接CE并延长交AB于G。

求证：DA平分∠GDF

证法一：建坐标系，代数法（略）。

证法二：三角函数暴力推（略）。

证法三：关键词：赛瓦定理。辅助线如下：

2、刚刚在 matrix67 的博客上翻阅到一题：http://www.matrix67.com/blog/archives/442

任意给定一个三角形ABC。令M为BC上的中点，令H为BC上的垂足。角A的平分线与BC交于点D。过B、C分别向角平分线AD作垂线，垂足分别为P、Q。

证明H、P、M、Q四点共圆。

博主的证法朴实又简洁明了。

评论区中 Pegasus 提到了一个出类拔萃的做法，尽管不那么简洁，但十分有趣自然奇妙，忍不住来分享一下：

作△ABC外接圆交AD延长线于X，∵AD是角平分线，∴MX⊥BC

根据相交弦定理，AD·DX=BD·DC

两边同时乘以cos∠ADB的平方，得到PD·DQ=HD·DM。于是PHQM四点公圆。

3、

 

 from 中等数学 2011-07 一道 IMO 几何题的另解

阅读了原题解（中等数学 2009-09 第 50 届 IMO 试题解答 ）和这篇“另解”，发现它们都采用了高深的三角函数。

于是这里来展示一下几何方法（由于偷懒就写简要过程了）：

显然O,K,C共线。连结OC，连结DK。作D关于OC的对称点。

∠OD'K=∠OEK，所以D'和E点重合，或O,K,D',E四点公圆。

① D'和E点重合，则BE⊥AC，易得 ∠BAC=60°

② O,K,D',E四点公圆。∵∠OD'E=90°，∴∠OKE=90°。

∴∠OEK=∠EOK=45°

因为K在∠DAC的角平分线上，易得AO=AE。∠AOE=∠AEO，∠BAD+∠ABE=∠ACB+∠EBC。

所以 ∠BAC=90°

综上，∠BAC=60° 或 90°

4、

关键词：R乘到左边，面积法

5、

关键词：构造平均长度。

6、

关键词：对称

7、

 

关键词：先猜后证。

结论：四边形AO₁O₂P是等腰梯形，AO₁=PO₂

方法一：PS=PT于是PM₁=PM₂（《中等数学 · 2011年第8期 · 构造对称结竞赛题》中的证法）

方法二：图中两个三角形全等。

8、

四边形ABCD中，已知∠DAB=110°，∠ABC=50°，∠BCD=70°，

M,N分别是AB,CD的中点，线段MN上的点P满足AM:CN=MP:NP。

当AP=CP时，求∠APC的大小。

 from 第20届JMO预赛(2010年)第11题

关键词：找点P与四边形的某种关系。 

9、

 关键词：相似，唯一性证明较困难

10、

$AB^2+DC^2=BC^2$，$A,B,C,D$四点共圆。

$E$在$BC$上，$ang AEB=ang DEC$，$BD$交$AE$于$G$，$AC$交$DE$于$F$，$AC$交$BD$于$H$。

求证：$HE$平分$AD$。

 from USAMO 2019年 第2题

关键词：共圆

Part 1：等腰三角形中斯特瓦尔特定理的应用。（from 中等数学 2011.7）

斯特瓦尔特定理原型：https://baike.baidu.com/item/%E6%96%AF%E7%89%B9%E7%93%A6%E5%B0%94%E7%89%B9%E5%AE%9A%E7%90%86 

特殊情形：等腰三角形 ABC 中 AB=AC，则 AB²－AD² =BD·DC

1、

关键词：圆幂定理

2、

 关键词：无

3、

关键词：两个外心，定差幂线定理（平方的差相等即垂直）

4、

关键词：牛顿定理（相似证四线共点），定差幂线。

5、

 

最关键的一步，有两条线是垂直的？！

关键词：圆的幂（本质还是斯特瓦尔特），定差幂线定理

 

6、

 关键词：完全四边形的密克尔点（四圆共点）

7、

方法一（朴素、基础方法）：调和点列，梅涅劳斯定理。

方法二（模仿上一题做法）：密克尔点。

8、

关键词：梅涅劳斯定理。

Part 2：梅涅劳斯定理。（from 《奥赛经典 几何》第一章）

1、

三角形ABC，以底边BC为直径作半圆，与AB、AC交于D、E，分别过D、E作BC垂线，垂足依次是F、G，线段DG和EF交于点M。

求证：AM垂直于BC。

2、

三角形ABC内有一点P，作PR⊥PB交AC于R，PQ⊥PA交BC于Q，PS⊥PC交AB于S。

证明：Q、R、S共线。

关键词：边化角

3、

圆外切四边形ABCD，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的切点，I为AB、CD的交点，J为BC、AD的交点。

求证：①AC、BD、EG、FH共点；②EF、GH、AC、IJ平行或共点；③IJ、EH、BD、FG平行或共点

关键词：梅涅劳斯定理经典题；边的置换 

4、

I、H分别为锐角三角形ABC的内心和垂心，点B1、C1分别为AC、AB的重点。

已知射线B1I交边AB于B2（B2≠B），射线C1I交AC延长线于C2，B2C2与BC交于K，A1为△BHC的外心。

试证：A，I1，A1共线的充要条件是：S△BKB2=S△CKC2

5、

一个非等腰三角形，三个顶点为A[0],A[1],A[2]，内心为 B，

过B做与边A[i]A[i+1]和A[i]A[i+2]相切的圆O[i]（下标对3取模，下同），

圆O[i+1]与圆O[i+2]的除了B以外的另一个交点为C[i]。

设三角形 A[i] B C[i] 的外心为D[i]

求证：D[0],D[1],D[2]共线。

关键词：添中垂线；外接圆与内心的关系。