狄利克雷卷积 && 莫比乌斯反演
狄利克雷卷积
数论函数及其运算
数论函数是指定义域是正整数，值域是一个数集的函数。
加法，逐项相加，即((f+h)(n)=f(n)+h(n))；
数乘，这个数和每一项都相乘，即 ((xf)(n)=x·f(n))
狄利克雷卷积
定义两个数论函数的狄利克雷卷积 (*:)
若(t=f*g)，则(t(n)=sum_{d|n}^{}f(d)·g(frac{n}{d}))，又或者写成(t(n)=sum_{ij=n}f(i)cdot g(j))。
卷积性质
- 交换律：(f*g=g*f)
- 结合律： ((f*g)*h=f*(g*h))
- 分配律：((f+g)*h=f*h+g*h)
- 单位元：(epsilon*f=f),其中(epsilon=[n=1])
- 逆 元： 对于每个(f(1) ot=0)的(f)，都存在一个(g)，使得(f*g=epsilon)，(g)为(f)的逆。
积性函数
定义不再重复。
常见的积性函数：
1.(phi(n)=nprod_{i=1}^{k}{frac{p_i-1}{p_i}})
2.(id^k(n)=n^k),特别的记(I(n)=id^0(n)=1, id(n)=id^1(n)=n)
3.(epsilon(n)=[n=1])
4.(mu(n)=cases{0,n存在两个或以上相同质因子\ (-1)^k,n不存在两个或以上相同质因子}，k为质因子个数)
积性函数性质
1.积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数。
2.积性函数的逆还是积性函数。
由积性函数的性质可知，通过计算出它在质因子幂处的取值，就可以得到它本身的值。
例如：(phi(n)=prod_{i=1}^{cnt}phi(p_i^{c_i}))
另外，容易发现((phi * I)(p^k)=p^k)，由性质1可得(phi*I=id)。
莫比乌斯反演
运用上述知识，从卷积的角度来认识莫比乌斯反演。
首先重新认识一下(mu)，定义(mu)为(I)的逆。
由于(I)是积性的，而(mu)是(I)的逆，所以(mu)也是积性的。
利用(I*mu=epsilon)，可以得出：
再利用积性函数的性质1，可以得到上面写到的(mu)函数。
这个时候，我们顺便发现了一个(phi)与(mu)的关系：
进入正题。
如果数论函数(f,g)满足:
那么，
证明：直接写成卷积形式即可。
同时存在另外一种形式的莫比乌斯反演：
证明：
定义新运算((fodot g)(n)=sum_{n|X}f(frac{X}{n})cdot g(X))
下面先证明：((f*g)odot h=fodot (godot h))
[(fodot (godot h))(n)=sum_{n|X}f(frac{X}{n})sum_{X|P}g(frac{P}{X})h(P)\ =sum_{n|X}sum_{X|P}f(frac{X}{n})g(frac{P}{X})h(P)\ =sum_{n|P}(f*g)(frac{P}{n})h(P)\ =((f*g)odot h)(n) ]所以就有
[g=(mu*I)odot g=muodot(Iodot g)=muodot f ]
应当注意的是：