形式
[sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2 geq sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2
]
等号成立的条件：
[iff:b_i=0 || exists k in mathbb {R},a_i=k cdot b_i(i in mathbb{N^+})
]
证明
法一：参数配方
思路：巧妙的把常数与方程结合起来，利用性质即可。
证明：
构造函数:
[f(t)=sum_{i=1}^{n}b_i^2cdot t^2-2sum_{i=1}^{n}a_ib_it+sum_{i=1}^{n}a_i^2
]
化简函数：
[f(t)=sum_{i=1}^{n}b_i^2cdot t^2-2sum_{i=1}^{n}a_ib_it+sum_{i=1}^{n}a_i^2
]
[=sum_{i=1}^{n}(b_i^2t^2-2a_ib_it+a_i^2)
]
[=sum_{i=1}^{n}(b_i^2t^2+a_i^2-2a_ib_it)
]
[=sum_{i=1}^{n}(b_it-a_i)^2
]
所以：
[f(t) geq 0
]
[Delta t=b^2-4ac
]
[=4sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2-4 imes sum_{i=1}^{n}b_i^2 imes sum_{i=1}^{n}a_i^2 leq 0
]
所以：
[4sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2 leq 4 imes sum_{i=1}^{n}b_i^2 imes sum_{i=1}^{n}a_i^2
]
[sum_{i=1}^{n}a_i^2 imes sum_{i=1}^{n}b_i^2 geq sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2
]
证毕。
因为：
[f(t)=sum_{i=1}^{n}(b_it-a_i)^2
]
令(f(t)=0)，即
[a_i=b_it
]
此时：
[f(t)_{min}=0
]
即：
[Delta t leq 0
]
故等号可取的一个充分条件即为：
[exists k in mathbb {R},a_i=k cdot b_i(i in mathbb{N^+}）
]
法二：均值不等式证明
思路：运用分析法将原式子化简，使用绝对值三角不等式与均值不等式进行证明。
引用到的均值不等式（证明略）：
[ab leq frac{a^2+b^2}{2}
]
适用条件：
[a,b in mathbb {R^+}
]
等号成立条件：
[iff:a=b
]
证明：
要证：
[sum_{i=1}^{n}a_i^2sum_{i=1}^{n}b_i^2 geq sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2
]
只需证：
[sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2} geq |sum_{i=1}^{n}a_ib_i|
]
即：
[|sum_{i=1}^{n}a_ib_i| leq sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}
]
[frac{|sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}}leq 1
]
由绝对值三角不等式：
[|a_1+a_2+a_3+cdots+a_n| leq |a_1|+|a_2|+|a_3|+ cdots + |a_n|
]
可得：
[|sum_{i=1}^{n}a_ib_i| leq sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|
]
所以：
[frac{|sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}} leq frac{sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}}
]
又因为：
[frac{sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}}
]
[=sum_{i=1}^{n}frac{|a_i|}{sqrt{sum_{i=1}^{n}a_i^2}}cdot frac{|b_i|}{sqrt{sum_{i=1}^{n}b_i^2}}
]
由均值不等式：
[ab leq frac{a^2+b^2}{2}
]
可得：
[sum_{i=1}^{n}frac{|a_i|}{sqrt{sum_{i=1}^{n}a_i^2}}cdot frac{|b_i|}{sqrt{sum_{i=1}^{n}b_i^2}}
]
[leq frac{1}{2}cdot sum_{i=1}^{n}(frac{a_i^2}{sum_{i=1}^{n}a_i^2}+ frac{b_i^2}{sum_{i=1}^{n}b_i^2})
]
[leq frac{1}{2}cdot (frac{sum_{i=1}^{n}a_i^2}{sum_{i=1}^{n}a_i^2}+ frac{sum_{i=1}^{n}b_i^2}{sum_{i=1}^{n}b_i^2})
]
[leq frac{1}{2} imes 2 = 1
]
即：
[frac{|sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}}leq 1
]
上述结论成立，证毕。
法三：n维向量证法
因为：
[|vec a cdot vec b| = |vec a|cdot |vec b| cdot cos heta
]
所以：
[|vec a cdot vec b| leq |vec a|cdot |vec b|
]
[|vec a cdot vec b|^2 leq |vec a|^2cdot |vec b|^2
]
(vec a,vec b)为(n)维向量时，用坐标的形式展开即可证明。
当(vec a=kvec b)，即(a)，(b)共线时，等号成立。
申明与感谢
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