ACM第四站————最小生成树（普里姆算法）

对于一个带权的无向连通图，其每个生成树所有边上的权值之和可能不同，我们把所有边上权值之和最小的生成树称为图的最小生成树。

普里姆算法是以其中某一顶点为起点，逐步寻找各个顶点上最小权值的边来构建最小生成树。

其中运用到了回溯，贪心的思想。

----------2018年5月24日补：

　　#begin

　　　　根据定义我们可知，求一个图的最小生成树的时候，一定会将所有的点都连接起来，也就是说，我们从任何一个点出发都可以得到这个图的最小生成树，那么我这里暂定从0出发，寻找到和0相连的点中最小的权值，作为连接0这一个点的边（如果有相同的最小权值，则视要求处理），将0这一个点设置为不可访问，同时保存此时的连接点，将求到的这一个点做和0一样相同的处理...处理出n个点就可以求得这个图的最小生成树了（如果不能处理出n个点，那么此图的最小生成树也就不存在）。

　　#end

废话少说，直接上题吧！这些东西多练就好！

一、最小生成树：

题目描述

求一个连通无向图的最小生成树的代价（图边权值为正整数）。

输入

第一行是一个整数N（1<=N<=20），表示有多少个图需要计算。以下有N个图，第i图的第一行是一个整数M（1<=M& lt;=50），表示图的顶点数，第i图的第2行至1+M行为一个M*M的二维矩阵，其元素ai,j表示图的i顶点和j顶点的连接情况，如果 ai,j=0，表示i顶点和j顶点不相连；如果ai,j>0，表示i顶点和j顶点的连接权值。

输出

每个用例，用一行输出对应图的最小生成树的代价。

样例输入

1
6
0 6 1 5 0 0
6 0 5 0 3 0
1 5 0 5 6 4
5 0 5 0 0 2
0 3 6 0 0 6
0 0 4 2 6 0

样例输出

//Asimple
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>

using namespace std;
#define INF 0xffffff
const int maxn = 55;
int G[maxn][maxn];//建图
int T, n;

int prim()
{
    int Min, sum = 0;
    int adv[maxn]; //保存定点下标
    int lowc[maxn]; //保存权值

    adv[0] = lowc[0] = 0 ;
    //初始化
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        lowc[i] = G[0][i];//先放入 第0行 的所有权值
        adv[i] = 0 ;
    }

    //构建过程
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        Min = INF ;
        int j = 1 ;
        int k = 0 ;

        while( j < n )
        {
            if( lowc[j]!=0 && lowc[j]<Min)
            {
                Min = lowc[j] ;
                k = j ;
            }
            j ++ ;
        }
        sum += G[adv[k]][k] ;//计算最小权值
        //printf("%d,%d",adv[k],k);//打印节点
        lowc[k] = 0 ;

        //逐行遍历接下来的k个顶点
        for(int l=1; l<n; l++)
        {
            if( lowc[l]!=0 && G[k][l] < lowc[l] )
            {
                lowc[l] = G[k][l] ;
                adv[l] = k ;
            }
        }
    }
    return sum ;
}

int main()
{
    cin >> T ;
    while( T -- )
    {
        cin >> n ;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                cin >> G[i][j];
                if( G[i][j] == 0 && i!=j )
                    G[i][j] = INF ;
            }
        cout << prim() << endl ;
    }

    return 0;
}

二、判断最小生成树是否唯一

题目描述

给出一个连通无向图，请判断其最小生成树是否是唯一的。

定义1（生成树）：给出一个连通无向图G=（V，E），G的一颗生成树被标记为T=（V，E），则具有以下性质：

1）V'=V；

2）T是连通无回路的。

定义2（最小生成树）：给出一个边带权的连通无向图G=（V，E），G 的最小生成树T=（v，E）是具有最小总耗费的生成树。T的总耗费表示E' 中所有边的权值的和。

输入

第一行给出一个整数t（１＜＝ｔ＜＝２０），表示测试用例数，每个测试用例表示一个图，测试用例的第一行给出两个整数ｎ，ｍ（１＜＝ｎ＜＝１００），分别表示顶点和边的数目，后面的ｍ行每行是一个三元组（ｘｉ，ｙｉ，ｗｉ），表示ｘｉ和ｙｉ通过权值为ｗｉ的边相连。任意两个节点间至多只有一条边相连。

输出

对于每个测试用例，如果ＭＳＴ是唯一的，输出其总耗费；否则输出字符串'Not Unique!'.

样例输入

样例输出

Not Unique!

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>

using namespace std;
#define INF 0xffffff
const int maxn = 55;
int G[maxn][maxn];//建图
int T, n, m, x, y, num;

void prim()
{
    int Min, sum = 0;
    int adv[maxn]; //保存定点下标
    int lowc[maxn]; //保存权值
    bool flag = false ;

    adv[0] = lowc[0] = 0 ;
    //初始化
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        lowc[i] = G[0][i];//先放入 第0行 的所有权值
        adv[i] = 0 ;
    }

    //构建过程
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        Min = INF ;
        int j = 1 ;
        int k = 0 ;

        while( j < n )
        {
            if( lowc[j]!=0 && lowc[j]<=Min)
            {
                if( lowc[j] == Min ) flag = true ;
                Min = lowc[j] ;
                k = j ;
            }
            j ++ ;
        }
        sum += G[adv[k]][k] ;//计算最小权值
        lowc[k] = 0 ;

        //逐行遍历接下来的k个顶点
        for(int l=1; l<n; l++)
        {
            if( lowc[l]!=0 && G[k][l] < lowc[l] )
            {
                lowc[l] = G[k][l] ;
                adv[l] = k ;
            }
        }
    }
    if( flag ) cout << "Not Unique!" << endl ;
    else cout << sum << endl ;
}

int main()
{
    cin >> T ;
    while( T -- )
    {
        cin >> n >> m ;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                if( i == j ) G[i][j] = 0 ;
                else G[i][j] = INF ;
            }
        for(int i=0; i<m; i++)
        {
            cin >> x >> y >> num ;
            G[x-1][y-1] = num ;
            G[y-1][x-1] = num ;
        }
        prim();
    }

    return 0;
}

2018年4月1日更正：

上面的代码过不了 POJ 1679。谢谢指点~~ 今天更改了下自己的程序。

18390068

Asimple

1679

Accepted

312K

16MS

C++

1483B

2018-04-01 20:08:48

//Asimple
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
#define INF 0xffffff
typedef long long ll ;
const int maxn = 100+5;
int n, T, num, cnt, x, y, t, m, w;
int Map[maxn][maxn];

void prim() {
    int lowc[maxn];
    for(int i=1; i<=n; i++) lowc[i] = Map[1][i];
    int sum = 0;
    bool flag = false;
    
    for(int l=1; l<n; l++) {
        int Min = INF;
        int k = 0;
        for(int j=2; j<=n; j++) {
            if( lowc[j]!=0 && Min > lowc[j] ) {
                k = j;
                Min = lowc[j];
            }
        }
        if( Min == INF ) break; 
        sum += Min;
        int cnt = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            if( Map[k][i] == lowc[k] )
                cnt ++;
        if( cnt > 1 ) {
            flag = true;
            break;
        }
        lowc[k] = 0;
        
        
        for(int i=2; i<=n; i++) {
            if( lowc[i] > Map[k][i] ) {
                lowc[i] = Map[k][i];
            }
        }
    }
    
    if( flag ) cout << "Not Unique!" << endl;
    else cout << sum << endl;
}

void input() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin >> T;
    while( T -- ) {
        cin >> n >> m;
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            for(int j=1; j<=n; j++) {
                Map[i][j] = i==j?0:INF;
            }
        }
        while( m -- ) {
            cin >> x >> y >> w;
            Map[x][y] = min(Map[x][y], w);
            Map[y][x] = Map[x][y];
        }
        prim();
    } 
}

int main() {
    input();
    return 0;
}

低调做人，高调做事。