Poj 1006 生理周期(中国剩余定理)

一、Description

人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。

Input

输入四个整数：p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。
当p = e = i = d = -1时，输入数据结束。

Output

从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。

二、问题分析
        发现这道题有翻译的时候，长舒了一口气。但没想到中文意思都这么坑爹，唉，硬着头皮看了几遍没思路，后来看了discuss发现是中国余数定理（其实我根本不懂神马中国余数定理）。这就是这道题的全部了，下面详细了解一下这个定理。
中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。
设m1,m2,…mk是两两互素的正整数，则对任意b1,b2,…,bk，同余方程组
x mod m1=b1 mod m1,
x mod m2=b2 mod m2,
…
x mod mk=bk mod mk, 其解为：
x=(M1’M1b1+M2’M2b2+…+M’kMkbk )mod m
m=m1m2…mk,
Mi=m/mi
MiMi’ mod mi=1 显然(Mi,mi)=1

解题思路：

令某数为M，令素数为A，B，C，D，…，Z，已知M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z。求M=？

因为A，B，C，D，…，Z为不同的素数，故，B*C*D*…*Z不可能被A整除，有等差数列（B*C*D*…*Z）+（B*C*D*…*Z）N中取A个连续项，这A个连续项分别除以A的余数必然存在0，1，2，3，…，A-1，所以，从这A个连续项中能寻找到除以A余1的数。再用除以A余1的这个数*a其积必然除以A余a，这个除以A余a的数，为能够被素数B*C*D*…*Z整除的数，为第一个数；

再按同样的道理，从A*C*D*…*Z的倍数中寻找除以B余b的数，该数具备被素数A，C，D，…，Z整除的特性，为第二个数；

因为，第一个数除以A余a，第二个数能被素数A，C，D，…，Z整除，即能被A整除，所以，第一个数+第二个数之和，仍然保持除以A余a；

同理，第二个数除以B余b，因第一个数能被B整除，所以，第二个数+第一个数之和，仍然保持除以B余b。即，第一个数+第二个数之和，为满足除以A余a，除以B余b。

依此类推，按上面的方法寻找到除以各素因子的余数的数之总和，为满足除以各素因子余数的条件的数。总和再减去能被这几个素数共同整除的数（A*B*C*D*…*Z）N后，其差仍然保持除以各素因子余数的条件的数。由此构成孙子定理的解法。
例题：
   x mod 3=2
   x mod 5=3
   x mod 7=2
m1=3 m2=5 m3=7 b1=2 b2=3 b3=2
m=m1*m2*m3=3*5*7
M1=m/m1=5*7 M1’=Mi(mi)-1mod mi=2
M2=m/m2=3*7 M2’=Mi(mi)-1mod mi=1
M3=m/m3=3*5 M3’=Mi(mi)-1mod mi=1
x=(M1’M1b1+M2’M2b2+…+M’kMkbk )mod m
=(2*5*7*2+1*3*7*3+1*3*5*2)mod 105
=(140+63+30) mod 105=233 mod 105=23

三、问题解决

有了上面的普及，可以得到我们要的式子：Days=(5544*p+14421*i+1288*e)%21252.看到输入数据的0，应该是代表第一天的意思吧，有点难以理解。

import java.util.Scanner;
public class N1006_Biorhythms{
	
    public static void main(String args[]){
    	Scanner cin=new Scanner(System.in);
    	int num=0;
    	while(cin.hasNext()){
    		int p =cin.nextInt();
    		int e =cin.nextInt();
    		int i =cin.nextInt();
    		int d =cin.nextInt();
    		if(p==-1 && e==-1 && i==-1 && d==-1){
    			break;
    		}
    		num++;
    		int days=(5544 * p + 14421 * e + 1288 * i) % 21252 -d;
    		if(days <= 0){
    			days+=21252;
    		}
    		System.out.println("Case "+num+": the next triple peak occurs in "+days+" days.");
    	}
    }
}