[题解] PowerOJ 1738 最小路径覆盖问题 (最大流)

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　https://www.oj.swust.edu.cn/problem/show/1738

#1738: 最小路径覆盖问题 SPJ

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Description

给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上，则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。提示：设V={1，2，... ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下：每条边的容量均为1。求网络G1的（ x0 , y0 ）最大流。编程任务：对于给定的有向无环图G，编程找出G的一个最小路径覆盖。

Input

由文件input.txt提供输入数据。文件第1 行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图 G 的顶点数，m是G 的边数。接下来的m行，每行有2 个正整数i和j，表示一条有向边(i,j)。

Output

程序运行结束时，将最小路径覆盖输出到文件output.txt 中。从第1 行开始，每行输出一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

Source

线性规划与网络流24题

- 思路 -

　将一个点视为两个, 一个作为起点, 已给作为终点, n 个起点放在集合 X 中, n 个终点放在集合 Y 中, 从而把有向边转为集合 X 中的点到集合 Y 的点的有向边, 这样就得到了二分图匹配的模型.
　二分图匹配的模型转费用流上篇已经讲了就不再赘述.
　二分图中有一条匹配边则说明有一个点计入一条边中, 所以ans = 点数 - 匹配边数.
　
　细节见代码.
　

- 代码 -

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
 
const int N = 400;
const int M = 2e4 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
 
int NXT[M], FRM[M], TO[M];
int V[M], CUR[N], HD[N];
int DIS[N], GO[N];
int n, m, ss, tt, sz, cnt;
queue<int> q;
 
void add(int x, int y, int z) {
    FRM[sz] = x; TO[sz] = y; V[sz] = z;
    NXT[sz] = HD[x]; HD[x] = sz++;
    FRM[sz] = y; TO[sz] = x; V[sz] = 0;
    NXT[sz] = HD[y]; HD[y] = sz++;
}
 
bool bfs() {
    memset(DIS, -1, sizeof (DIS));
    DIS[ss] = 0;
    q.push(ss);
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int i = HD[u]; i != -1; i = NXT[i]) {
            int v = TO[i];
            if (DIS[v] < 0 && V[i]) {
                DIS[v] = DIS[u] + 1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return DIS[tt] > 0;
}
 
int dfs(int x, int a) {
    if (x == tt) return a;
    int flow = 0, f;
    for (int& i = CUR[x]; i != -1; i = NXT[i]) {
        if (V[i] && DIS[TO[i]] == DIS[x] + 1)
            if (f = dfs(TO[i], min(a, V[i]))) {
                V[i] -= f;
                V[i^1] += f;
                flow += f;
                a -= f;
                if (a == 0) break;
            }
    }
    return flow;
}
 
int dinic() {
    int flow = 0;
    while (bfs()) {
        memcpy(CUR, HD, sizeof (HD));
        flow += dfs(ss, inf);
    }
    return flow;
}
 
void print() {
    for (int i = 0; i < cnt; i += 2) {
        if (V[i] == 0) GO[FRM[i]] = TO[i] - n;
    }
    memset(DIS, 0, sizeof (DIS));
    int i = 1, j;
    while (i <= n) {
        if (DIS[i]) {
            i++;
            continue;
        }
        printf("%d", i);
        DIS[i] = 1;
        j = i;
        while (GO[j]) {
            j = GO[j];
            DIS[j] = 1;
            printf(" %d", j);
        }
        printf("
");
    }
}
 
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    ss = n * 2 + 1, tt = n * 2 + 2;
    memset(HD, -1, sizeof (HD));
    for (int i = 1, x, y; i <= m; ++i) {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add(x, y + n, 1);
        cnt = sz;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        add(ss, i, 1);
        add(i + n, tt, 1);
    }
    int tmp = dinic();
    print();
    printf("%d", n - tmp);
    return 0;
}