Bilinear Filter

　　参考资料：

　　1. 维基百科Biliner Filtering

　　2. 维基百科Texture Filtering

　　3. 维基百科Bilinear Interpolation

　　4. 维基百科Bilinear Transform

　　5. LTI系统的稳定性

　　6. 维基百科BIBO稳定性

　　7. 零点和极点

　　8. 零点和极点分析

　　知识点：

　　● Bilinear Filtering是一种纹理滤波方法，在展示比实际纹理或大或小时被用来平滑纹理（使用最近的四个纹理像素进行双线性插值Bilinear Interpolation）。

　　● Texture Filtering又称Texture smoothing，是一种通过临近纹理像素颜色来决定纹理映射像素的纹理颜色的方法。

　　● Bilinear Transform又称Tustin's method，在数字信号处理和离散时间控制理论中，用以将连续时间系统表示转换为离散时间系统表示（vice versa）。它是保角映射的特例，通常用于将在连续时间域里线性时不变滤波器（又称模拟滤波器analog filter）转换函数H_a(s)转换为离散时间域里线性平移不变滤波器（又称数字滤波器）转换函数H_d(z)。在S-平面上，它将在jw轴上（Re[s] = 0）的位置映射到Z-平面的一个单位圆上（|z| = 1）。其它的Bilinear变换可将任意离散时间线性系统中的频响变形，且可通过用一阶全通滤波器来替代系统单位延迟（z^-1）的方法在离散域内实现。该变换将保持BIBO稳定性，将连续时间滤波器的频响的每一个点H_a(jw_a)映射到离散时间滤波器的频响的对应一个点H_d(e^jw_dT)。这就意味着，在模拟滤波器频响中的每一个feature都在数字滤波器频响中有一个对象的feature，且拥有相同的Gain和Phase shift。这种情况通常在低频率不明显，而在接近Nyquist频率时则非常明显。

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1 变换过程

　　● Bilinear Transform是自然对数函数（从Z平面到S平面映射的准确函数）的一阶估算。当在离散时间信号上进行拉普拉斯变换时，该替换是精确的。

　　

　　● 单极点的实数部分是衰减因子，表示衰减和增长的快慢（离虚轴越远，变换越快），虚数部分决定了振荡的快慢（离实轴越远变换越快，为0时，响应无振荡）。

　　● 零点分布值影响系统时域系统响应的幅度和相位，对时域响应的模式没有影响。