Amadeus训练实录

现场赛记录：[名称：奖项/排名]

2018：

AHCPC：Gold/3
CCPC吉林：Silver/54
CCPC秦皇岛：Silver/53
ICPC南京：Bronze/110
ICPC焦作：Silver/69
EC-FINAL：Silver/100

That's all.
Thank for ABERROR feynman1999 LOSER_EVER Chelly and every people in AHU-ACM/ICPC Lab.

To do List：

总结：

若一个式子长这样——$sum_{i}sum_{j}inom{n}{i}inom{m}{j}... $，可以考虑枚举一维然后利用二项式定理化简另外一维，降低了一层复杂度
一些数学猜公式题可以考虑归纳
莫队的时候尤其要注意排序不要写错，写错了会出现莫名的WA和RE，不明白为什么(雾
写斜率优化的时候，要注意维护的凸包是叉积严格<0或者>0，=0的时候一定要删掉，容易出现问题
要尤其注意sort时候<的重载，写的不好会TLE
随机点算图形期望的时候要先真·随机产生点，再把不在范围内的点剔除
实数二分保留答案的那一边不要有eps（比如：l=mid,r=mid-eps或者l=mid+eps,r=mid）
写凸包的时候注意<=0和>=0不能写反
一个字符串s的循环周期并不一定是最小循环周期的倍数，如aaabcdaaa，6,7,8,9都是其循环周期
指数降幂公式：(a^x \% p =a^{x \% phi(p)+phi(p) } \% p (xgeqslant phi(p)))
看见(a(n))和(a(n/2))关系的递推式，要想到二进制
形如(x^2-dy^2=1(d是正整数且不是完全平方数))的不定方程叫pell方程，设其有一组特殊最小正整数解((x_0,y_0))则有$x_{n+1}=x_0x_n+dy_0y_n,y_{n+1}=y_0x_n+x_0y_n $ 以及 $ x_{n+2}=2x_0x_{n+1}-x_n,y_{n+2}=2x_0y_{n+1}-y_n $。
对于(x^2-dy^2=-1(d是正整数且不是完全平方数))，可能有解可能有无数解，解为(x_{n+1}=(x_0^2+dy_0^2)x_n+2dx_0y_0y_n,y_{n+1}=2x_0y_0x_n+(x_0^2+dy_0^2)y_n)。若d为素数且d=4k+1，则必定有解
对于(x^2-dy^2=k^2)，等价于((frac{x}{k}) ^ 2 - d (frac{y}{k}) ^2 = 1)
若b能整除a，则(frac{a}{b} \% mod = frac{a \% (b imes mod)}{b})
当用cdq分治+FFT处理递推卷积的时候，若形式是(f(n)=sum f(i) imes f(n-i))，那么在处理(cdq(l,r))的时候，将(A=(f_l,f_{l+1},...,f_{mid})与B=(f_1,f_2,...,f_{r-l}))卷积的时候，要注意对于B中的(f_i)，若(i<l or i>mid)，系数要乘2。
要求字典序最小的问题一般都能贪心逐位确定。
((x+1)^{kdownarrow}=x^{kdownarrow}+kx^{(k-1)downarrow}),(x^k=sum_{i=0}^k x^{idownarrow}S(k,i))
对于任何数x，(x^{0 downarrow}=1)
无向图Matrix-Tree定理：求无向图G的生成树个数。设(D)是图G的度数矩阵（(D(i,i))表示第i个点的度数，其它位置是0），设(A)是图G的邻接矩阵（(A(i,i)=0)，(A(i,j))表示i和j之间的边数），基尔霍夫矩阵(Q=D-A)，则对于(Q)的任意一个代数余子式(Q')，(det(Q'))的值就是图G的生成树个数。
有向图Matrix-Tree定理：求以某个点为根的树形图个数。(D、A、Q)的定义同无向图的，对于点(w)，设(t_w(G))表示以w为根的树形图的个数，(Q_w)表示矩阵Q第w行对应的代数余子式，那么(t_w(G)=det(Q_w))。
BEST theorem：求欧拉图中欧拉回路的个数。(ec(G)=t_w(G) imes prod_{vin V} (deg(v)-1)!)，其中(deg(v))表示点v的入度，(w)的选取是任意的，因为容易发现对于欧拉图，所有点的(t_i(G))的值都相同。
$inom{n}{a} imes inom{a}{x} $ 不等于 (inom{n}{x})
模2意义下的多项式降幂：(f(x)^2=f(x^2) (mod 2))
(mu(n)^2=sum_{d^2|n} mu(d))
(phi _n(x))表示n次单位根下的分圆多项式，那么有(x^n-1=prod_{d|n} phi _d(x))，可以用来对于(x^n-1)的因式分解。分圆多项式可以通过莫比乌斯反演求得，即(phi _n(x)=prod_{d|n}(x^d-1)^{mu(frac{n}{d})})。其中(phi _n(x))的最高次数正好是(phi(n))，也就是说具体的求的时候可以将其对(x^{phi(n)+1})取模，类似背包那种的dp。
开根下取整可以用牛顿迭代的整除形式做，最终(k)和(frac{n}{k})会收敛到相差<=1的数字。
对偶规则：
互补松弛性：在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量也一定为零。
([i mod 2 = 0 ])等价于(frac{(-1)^i+1^i}{2})，可以用来式子化简
若需要求期望，并且不是在取模意义下，有时候需要dp求方案数和总权值和，但这个可能会很大，可以用long double来保存
建好一个kdtree之后，若要在上面寻找一个已有点，注意一定要以矩形的形式查找，两边都要递归下去
对于01图的最短路，可以采用双端队列，即如果当前扩展的边是0，就放队列开头，如果当前扩展的边是1，就放队列结尾，这样的话复杂度是线性的
容斥原理也可以通过递推来理解，设(F(P))表示至少有P个位置不合法的方案数，(G(P))表示恰好有P个位置不合法的方案数，那么(G(P)=F(P)-G(P+1)),倒推一下，(G(0))就是答案
若一个最优化安排问题有明显的时间段，有t时刻的储存到t+1时刻之类的限制，往往都可以建成网络流模型；若网络流时间复杂度过不去，可以考虑能否贪心，贪心的一种思路就是从前往后我尽可能地买，在后面决定这些卖不卖，留到最后还没卖出的就可以视作当时没有制造出来
在考虑树上路径最优化问题的时候，可以考虑线头DP，在做线头DP的时候，先不考虑根节点k本身，先把它孩子子树合上来，然后再考虑从k点加线头进行转移，然后再考虑从k点封线头进行转移（可能会形成孤立点），然后给那些经过k点的方案加上k点的权值，有时候你还需要多开一个维度的状态表示是否经过了k点
在做queue或者priority_queue的时候，若从中间return了，那么下次再执行算法的时候一定要清空队列！
回滚莫队可以将一般莫队的删除操作变成撤销操作。按左端点所在块编号为第一关键字，右端点为第二关键字排序。对于左端点在同一个块里的询问我们统一处理：对于那些右端点也在块内的，我们直接暴力；对于那些右端点在块外的，一定是单增的，我们假设当前块的最右边是right，那么我们首先把右端点从上次的位置移到这次的位置（加入操作），然后把左端点从right移到当前询问的左端点，得到答案后，再把左端点移回right。（这是撤销操作，不是删除操作）

找规律题总结：

OEIS、BM、插值
不少找规律的问题是前面几项或十几项没规律，从中间开始有规律
对一个数列找规律的时候，可能可以将其拆分成两个序列的并，分别可以OEIS/BM

训练实录：[时间名称：通过题数/总题数，Rank：排名]