DP基础（线性DP）总结

前言：虽然确实有点基础......但凡事得脚踏实地地做，基础不牢，地动山摇，，，嗯！

LIS(最长上升子序列)

dp方程：dp[i]=max{dp[j]+1,a[j]<=a[i]}

复杂度：O（n^2）

LIS优化

法一：数据结构无脑暴力优化

以a[i]为数组下标，从1到a[i]访问最大值，再加一，进行更新

法二：设h[k]表示dp值为k的最长上升子序列的最小值（有点贪心在里面）

显然h[k]>=h[k-1]（~~k>=2~~），证明：若存在h[k-1]>h[k]，则h[k-1]可以从h[k]中转移，故不存在h[k]>=h[k-1]

所以我们可以通过二分查找，找到一个最大的h[k]满足h[k]<=a[i]，则dp[i]=k+1

两种方法的复杂度都为O(nlogn)

LCS（最长公共子序列）

dp方程：

dp[i][j]=max{dp[i-1][j-1]+1,a[i]==b[j]}
dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i][j-1],a[i]!=b[j]}//若a[i]!=b[j]则说明a[i]或b[j]对于dp值无贡献

复杂度：O（n^2）

优化：嗯......少数有特殊性质的题目可以将LCS转化为优化LIS来做。

LCIS(最长公共上升子序列)

~~小声bb:最麻烦的来了~~

先说复杂度O(n*m^2)的吧：

设dp[i][j]表示a序列的前i个数和b序列的前j个数且以b[j]结尾构成的LCIS长度
则若a[i]!=b[j]则需找到一个a[k]与b[j]匹配（1<=k<=i-1）,故a[i]对于dp[i][j]的值无贡献,
所以dp[i][j]=dp[i-1][j]
若a[i]=b[j]则a[i]与b[j]匹配，所以dp[i][j]=max{dp[i-1][t],1<=t<=j-1且b[t]<=b[j]}

然后是复杂度O(nmlogm)的：

考虑类似于优化LIS的优化
设h[k]表示dp值为k的LCIS的最后一位b[t]的最小值，显然h[k]也一定满足h[k]>=h[k-1]
故可以通过二分查找来找到最大的h[k]满足h[k]<=b[j],则dp[i][j]=k+1

最后是复杂度O(n*m)的：

我们需要找到b[t]<b[j]，我们发现，在dp过程中，外层循环是i，内层循环是j，也就是说对于同一组内层循环来讲，i的值是一定的，而j是从一到n，故我们在循环的过程中，对于同一组内层循环来讲，我们可以记录一个t值使得 dp[i-1][t]的值最大且b[t]<=b[j]
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    int t=0;
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
         if(a[i]!=b[j])dp[i][j]=dp[i-1][j];
         if(a[i]==b[j])
         {
             dp[i][j]=dp[i-1][t]+1;
         }
        if(a[i]>b[j]&&dp[i-1][j]>dp[i-1][t])t=j;
    }
}