【u023】最长上升子序列(sequence)

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【问题描述】

非常经典的问题，拿来给大家练手了。序列 { 1,2,...,n } 的一个子序列是指序列 { i1, i2, ……, ik },其中 1<=i1 < i2 < …… < ik<=n, 序列 { a1, a2, ……, an } 的一个子序列是指序列 { ai1, ai2, ……, aik },其中 { i1, i2, ……, ik } 是 { 1, 2, ……, n } 的一个子序列.同时,称 k 为此子序列的长度. 如果 { ai1, ai2, ……, aik } 满足 ai1 ≤ ai2 ≤ …… ≤ aik,则称之为上升子序列.如果不等号都是严格成立的,则称之为严格上升子序列.同理,如果前面不等关系全部取相反方向,则称之为下降子序列和严格下降子序列. 长度最长的上升子序列称为最长上升子序列.本问题对于给定的整数序列,请求出其最长上升子序列的长度.

【输入格式】

第一行给出一个数字N,N < = 5000，表示给定数列的长度。第二行有N个整数，表示数列中的元素

【输出格式】

输出K的极大值，即最长上升子序列的长度

【数据规模】

Sample Input1

5 
9 3 6 2 7

Sample Output1

【样例说明】

最长上升子序列为3,6,7

【题解】

程序1，用f[i]表示以i作为最后一个元素的最长上升子序列长度,f[i] = max(f[i],f[j]+1)，其中 a[i] >= a[j]; j ∈（1，i-1);

程序2,用f[i]表示长度为i的最长上升子序列的最后一个元素的最小值,在扫描输入的数组a时，如果a[i] > f[maxl]，那么maxl++,f[maxl] = a[i]，否则从maxl-1 到 1扫描一下，

找到最大的j使得a[j] <= a[i] ，然后 f[j+1] = a[i];即更新长度为j+1的最长上升子序列的最后一个数的最小值。最后输出maxl就好。

程序2可以用二分查找来优化做到nlogn,但是二分查找写起来很麻烦、

【程序1】

#include <cstdio>

int n,a[5002],f[5002],ans = 0;

void input_data()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
}

int ma_x( int a,int b)
{
    if (a > b)
        return a;
            else
                return b;
}

void get_ans()
{
    for (int i = 1;i <= n;i++) 
        {
            f[i] = 1;//f[i] == 1表示 从这个数字开始新的一个序列 长度为1
            for (int j = 1;j <= i-1;j++) //或者从之前的序列中更新，让这个数字作为最后一个数
                {
                    if (a[i] >= a[j]) //前提是这个数字要比前面的数字大 且长度加上1之后会比这个数字作为其他序列的最后一个数字来的更好(长度更长)
                        f[i] = ma_x(f[i],f[j] + 1);
                }
            if (f[i] > ans) // 如果比最优解更优 则更新
                ans = f[i];
        }
}

void output_ans()
{
    printf("%d
",ans);
}

int main()
{
    input_data();
    get_ans();
    output_ans();
    return 0;
}

【程序2】

#include <cstdio>

int n,a[5002],f[5002],ans = 0,maxl = 0;

void input_data()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        f[i] = 0;
    f[0] = -200000000;//这个f[0]的边界 可以方便后面的求解
}

void get_ans()
{
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        {
            if (a[i] >= f[maxl]) //如果比最长长度的序列的最后一个数字大 就可以更新长度了，这样是最优的 
                {
                    maxl++;
                    f[maxl] = a[i];
                } //没有办法更新最大长度 就在前面的数字中找，更新一下最后一个数字的最小值
                    else
                        for (int j = maxl-1; j >=0; j--) //从大到小更新这样保证是最大的j
                            if (f[j] <= a[i])
                                {
                                    f[j+1] = a[i];
                                    break;
                                }
        }
}

void output_ans()
{
    printf("%d
",maxl);
}

int main()
{
    //freopen("F:\rush.txt","r",stdin);
    input_data();
    get_ans();
    output_ans();
    return 0;
}