题意:
求(S_n=left lceil (a+sqrt{b})^n ight ceil mod \, m)的值。
分析:
设((a+sqrt{b})^n=A_n+B_n sqrt{b}),
((a+sqrt{b})^{n+1}=(a+sqrt{b})(A_n+B_n sqrt{b})=(aB_n+A_n)+(A_n+aB_n) sqrt{b}),
所以有转移矩阵:
$egin{bmatrix}
a & b
1 & a
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
A_n
B_n
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
A_{n+1}
B_{n+1}
end{bmatrix}$
如果把(sqrt{b})变为(-sqrt{b}),就得到((a- sqrt{b})^n=A_n-B_n sqrt{b})。
两式相加:((a+sqrt{b})^n+(a-sqrt{b})^n=2A_n)。
再由题中所给条件知道,(a-sqrt{b})是个小于(1)的数,所以(left lceil (a+sqrt{b})^n
ight
ceil=2A_n)。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a, b, n, m;
int mul(int a, int b) { return a * b % m; }
void add(int& a, int b) { a += b; if(a >= m) a -= m; }
struct Matrix
{
int a[2][2];
Matrix() { memset(a, 0, sizeof(a)); }
Matrix operator * (const Matrix& t) const {
Matrix ans;
for(int i = 0; i < 2; i++)
for(int j = 0; j < 2; j++)
for(int k = 0; k < 2; k++)
add(ans.a[i][j], mul(a[i][k], t.a[k][j]));
return ans;
}
};
Matrix pow_mod(Matrix a, int p) {
Matrix ans;
for(int i = 0; i < 2; i++) ans.a[i][i] = 1;
while(p) {
if(p & 1) ans = ans * a;
a = a * a;
p >>= 1;
}
return ans;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &n, &m) == 4) {
a %= m; b %= m;
Matrix M;
M.a[0][0] = a; M.a[0][1] = b;
M.a[1][0] = 1; M.a[1][1] = a;
M = pow_mod(M, n - 1);
int ans = 0;
add(ans, mul(M.a[0][0], a));
add(ans, M.a[0][1]);
ans = mul(ans, 2);
printf("%d
", ans);
}
return 0;
}