#1369 : 网络流一·Ford-Fulkerson算法
描述
小Hi和小Ho住在P市，P市是一个很大很大的城市，所以也面临着一个大城市都会遇到的问题：交通拥挤。
小Ho：每到周末回家感觉堵车都是一种煎熬啊。
小Hi：平时交通也还好，只是一到上下班的高峰期就会比较拥挤。
小Ho：要是能够限制一下车的数量就好了，不知道有没有办法可以知道交通系统的最大承受车流量，这样就可以限制到一个可以一直很顺畅的数量了。
小Hi：理论上是有算法的啦。早在1955年，T.E.哈里斯就提出在一个给定的网络上寻求两点间最大运输量的问题。并且由此产生了一个新的图论模型：网络流。
小Ho：那具体是啥？
小Hi：用数学的语言描述就是给定一个有向图G=(V,E)，其中每一条边(u,v)均有一个非负数的容量值，记为c(u,v)≥0。同时在图中有两个特殊的顶点，源点S和汇点T。
举个例子：
其中节点1为源点S，节点6为汇点T。
我们要求从源点S到汇点T的最大可行流量，这个问题也被称为最大流问题。
在这个例子中最大流量为5，分别为：1→2→4→6，流量为1；1→3→4→6，流量为2；1→3→5→6，流量为2。
小Ho：看上去好像挺有意思的，你让我先想想。
提示：Ford-Fulkerson算法
小Hi：在你思考完成之前，我再给你讲一些网络流的性质好了。
对于任意一个时刻，设f(u,v)实际流量，则整个图G的流网络满足3个性质：
1. 容量限制：对任意u,v∈V，f(u,v)≤c(u,v)。
2. 反对称性：对任意u,v∈V，f(u,v) = -f(v,u)。从u到v的流量一定是从v到u的流量的相反值。
3. 流守恒性：对任意u，若u不为S或T，一定有∑f(u,v)=0，(u,v)∈E。即u到相邻节点的流量之和为0，因为流入u的流量和u点流出的流量相等，u点本身不会"制造"和"消耗"流量。
对于上面例子中的图，其对应的f网络图为（其中虚线表示实际不存在的边(v,u)）：
在此基础上，假设我们用cf(u,v)来表示c(u,v)-f(u,v)，则可以表示每一条边还剩下多少的流量可以使用，我们称为残留容量。
假设一条边(u,v)，其容量为3，使用了流量f(u,v)=2，则可以表示为：cf(u,v)=1, cf(v,u)=2。
由cf(u,v)构成的图我们称为残留网络。
比如例子中的残留网络图为：
小Ho，你可以从残留网络作为着手点，会比较简单。
小Ho：残留网络，残留网络也就是可以使用的流量......我知道了！
既然残留网络表示还可以使用的流量，那么我就可以从图中找出一条从S到T的路径p，使得路径p上所有边的cf(u,v)都大于0。
假设路径p上最小的cf(u,v)等于k，那我就可以使得S到T增加k的流量。
小Hi：没错，通过该条路径p使得图G的最大流得到了增加，所以这样的路径p被称为增广路径。
小Ho：我大概有一个简单的算法了！
首先我根据读入的信息，就可以得到最初的图G，然后将其转化为残留网络。
接下来我在残留网络上寻找是否有增广路径，如果不存在增广路径，则说明这个图不能再增加流量了。
若存在增广路径，则我将最大流量增加，同时对增广路径上的边cf(u,v)进行修改，再重复寻找增广路径。
整个过程大概就是：
While ( findAugmentPath() ) // 判断是否有增广路 maxFlow = maxFlow + delta // 最大流增加 modifyGraph() // 对增广路进行修改 End While
小Hi：那么你打算怎么实现寻找增广路和修改路径呢？
小Ho：寻找增广路的话，直接使用BFS从源点S开始搜索，记录每个点的路径以及路径上的最小残余容量：
findAugmentPath(): queue = [] // 重置搜索队列 path = [] // 初始化路径数组为0 capacity = [] // 初始化流量数组为0 visited = [] // 初始化访问数组为false tail = 0 queue[ tail ] = S // 将源点加入队列 capacity[S] = ∞ // 到源点的流量为无穷大 visited[S] = true i = 0 While (i ≤ tail) u = queue[i] If (u == T) Then // 已经找到一条增广路 Return capacity[T] End If For (u, v)∈残留网络 and cf(u,v)>0 and not visited[v] // u到v有残留容量，且v未被访问过 path[v] = u // 记录路径 capacity[v] = min(cf(u,v), capacity[u]) // 记录路径上的最小残余容量 visited[v] = true tail = tail + 1 queue[ tail ] = v End For i = i + 1 End While
而对于路径的修改，在已经有path数组的情况下，利用迭代或者回溯都可以完成：
modifyGraph(): flow = capacity[T] now = T While ( now is not S ) fa = path[ now ] cf(fa, now) = cf(fa, now) - flow cf(now, fa) = cf(now, fa) + flow // 反向的残余容量是增加 now = fa End While
小Ho：时间复杂度方面，每一次寻找增广路的时间为O(n+m)，每一次修改路径的时间复杂度为O(n)。假设图的最大流为maxflow，那么我的算法时间复杂度为O((n+m)*maxflow)。
小Hi：嗯，你所采用的算法就是最简单的最大流解决办法，最早是由L.R.Ford和D.R.Fulkerson在1956年时发表，因此也被称为Ford-Fulkerson算法。对于第一次接触网络流而言，可以先试着实现这个算法，对于你理解网络流会有很大的帮助。
小Ho：不过小Hi，我有一个小疑问，虽然我直观上感觉找不到新的增广路时就已经是最大流了，但这真的没有问题么？
小Hi：找不到增广路确实是等价于找到最大流，不过具体的证明嘛，请听下回分解。
输入
第1行：2个正整数N,M。2≤N≤500，1≤M≤20,000。
第2..M+1行：每行3个整数u,v,c(u,v)，表示一条边(u,v)及其容量c(u,v)。1≤u,v≤N，0≤c(u,v)≤100。
给定的图中默认源点为1，汇点为N。可能有重复的边。
输出
第1行：1个整数，表示给定图G的最大流。
- 样例输入
-
6 7 1 2 3 1 3 5 2 4 1 3 4 2 3 5 3 4 6 4 5 6 2
- 样例输出
-
5
分析：hiho的提示讲得很清楚，EK算法或者Dinic算法求最大流。
Edmond-Karp算法的代码：(88ms)
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> #define INF 999999999 using namespace std; int N,M;//N个点M条边 int p[502],map[503][503]; bool vis[502];//标记数组 int EK() { int ans=0;//ans表示最大流,初始化为0 while(true) { queue<int> q;//寻找增广路 memset(p,-1,sizeof(p)); memset(vis,false,sizeof(vis)); q.push(1);vis[1]=true; while(!q.empty()) { int u=q.front(); if(u==N) break; q.pop(); for(int i=1;i<=N;i++) { if(map[u][i]&&!vis[i])//当前边容量非零,且增广点未标记 { vis[i]=true; p[i]=u;//记录点i的前一个结点v q.push(i); } } } if(p[N]==-1) break;//没有找到增广路 int k=N,MAX=INF;//MAX为增广路中的最大流 while(p[k]!=-1) { MAX=min(MAX,map[p[k]][k]); k=p[k]; } ans+=MAX;//累加进最大流 k=N;//修改路径上的边容量 while(p[k]!=-1) { map[p[k]][k]-=MAX; map[k][p[k]]+=MAX; k=p[k]; } } return ans; } int main() { scanf("%d%d",&N,&M); for(int i=0;i<M;i++) { int s,t,c; scanf("%d%d%d",&s,&t,&c); map[s][t]+=c; } printf("%d ",EK()); return 0; }
Dinic算法的代码：(26ms)
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> #define INF 999999999 using namespace std; int N,M;//N个点M条边 int map[502][502]; int dis[502];//分层 int bfs()//分层 { memset(dis,-1,sizeof(dis)); dis[1]=0; queue<int> q; q.push(1); while(!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop(); for(int i=1;i<=N;i++) if(dis[i]==-1&&map[u][i]>0) { dis[i]=dis[u]+1; q.push(i); } } if(dis[N]>0) return 1; return 0;//无法遍历到汇点则返回0退出 } int dfs(int cur,int m)//m为当前流量上限,即从点cur流出的流量最多为m { if(cur==N) return m; int f,res=0; for(int i=1;i<=N;i++) { if(dis[i]==dis[cur]+1&&map[cur][i]>0&&(f=dfs(i,min(m,map[cur][i])))) { map[cur][i]-=f; map[i][cur]+=f;//修改路径上的边容量 res+=f; m-=f;//每找到增广路便修改流量上限 if(!m) break;//流量上限为0就退出循环 } } if(res) return res; dis[cur]=-1;//res==0的时候这个结点不能流通,即通过该结点找不到增广路 return 0; } int main() { scanf("%d%d",&N,&M); for(int i=0;i<M;i++) { int s,t,c; scanf("%d%d%d",&s,&t,&c); map[s][t]+=c; } int ans=0,res;//res为增广路的残余流量 while(bfs()) { while(res=dfs(1,INF)) ans+=res; } printf("%d ",ans); return 0; }
Dinic算法(数组模拟邻接链表)：(17ms)
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define INF 999999999 #include<queue> using namespace std; int N,M,cnt;//cnt为边的数量 struct Node{ int s,t,c; }edge[50000];//边数是M的最大值的两倍 int head[502],next1[50000]; int dis[502]; void add(int s,int t,int c) { edge[cnt].s=s; edge[cnt].t=t; edge[cnt].c=c; next1[cnt]=head[edge[cnt].s]; head[edge[cnt].s]=cnt++; } int bfs() { memset(dis,-1,sizeof(dis)); dis[1]=0; queue<int> q; q.push(1); while(!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop(); int k=head[u]; while(k!=-1) { int v=edge[k].t; if(dis[v]==-1&&edge[k].c>0) { dis[v]=dis[u]+1; q.push(v); } k=next1[k]; } } if(dis[N]>0) return 1; return 0; } int dfs(int cur,int m) { if(cur==N) return m; int res=0,f,k=head[cur]; while(k!=-1) { if(dis[edge[k].t]==dis[cur]+1&&edge[k].c>0&&(f=dfs(edge[k].t,min(m,edge[k].c)))) { edge[k].c-=f; edge[k^1].c+=f; res+=f; m-=f; if(!m) break; } k=next1[k]; } if(res) return res; dis[cur]=-1; return 0; } int main() { scanf("%d%d",&N,&M); memset(head,-1,sizeof(head)); cnt=0; for(int i=0;i<M;i++) { int s,t,c; scanf("%d%d%d",&s,&t,&c); add(s,t,c); add(t,s,0); } int ans=0,res; while(bfs()) while(res=dfs(1,INF)) ans+=res; printf("%d ",ans); return 0; }