OSU!

4318: OSU!

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Description

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。 

我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子: 

一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释） 

现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。 

Input

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。 

Output

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。 

Sample Input

3

0.5

0.5

0.5

Sample Output

6.0

HINT

【样例说明】 

 

000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0 

 

N<=100000

solution：

f[i]表示前i个的总期望

f[i][1]=(f[i-1][0]+1)*p[i]+(f[i-1][1]+(OOXX一坨屎))*p[i];..................①
f[i][0]=f[i-1][1]*(1-p[i])+f[i-1][0]*(1-p[i]);//来自TS_huge神犇的点拨......②

①+②
f[i]=p[i]+f[i-1]+p[i]*(OOXX一坨屎)
f[i]=f[i-1]+p[i]*(1+(OOXX一坨屎))

我们设x[i]为前i个从后往前最长的1的不间断链，(0<=x[i]<=i)
每次往后加 0 对期望值没有贡献(期望=权值/方案数 加0之后权值没有变化 
					       重点是方案数也没有变化
                                               因为第i位已经确定是0)
                                           (ps：我就是因为这个想不通卡了一个下午
                                                虽然代码日了狗的短......)

每次往后加 1 会让x[i-1]+1，再乘以p[i]，就是一个我想不懂的概率/期望？？？
总之我们先认为它是一个对的期望

然后我们来考虑(OOXX一坨屎)是个什么东西.....
应该是加上 1 对总期望的贡献
让后就是各种神犇blog上写的 加上 1 对总期望的贡献=x[i]^3-x[i-1]^3=(x[i-1]+1(p[i]乘在了外面))^3-x[i-1]^3=3*x[i-1]^2+3*x[i-1]+1;
然后递推的时候就维护 x[i]^2 x[i]  推即可

(2017.7.15 ps：反正我真的不懂这道题) 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define dd double
#define ll long long
using namespace std;
const int N=100100;

int n;
dd p[N],l[N],l2[N],f[N];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
      scanf("%lf",&p[i]);
    
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        l[i]=(l[i-1]+1.0)*p[i];
        l2[i]=(l2[i-1]+2*l[i-1]+1.0)*p[i];
        f[i]=f[i-1]+p[i]*(3.0*l2[i-1]+3.0*l[i-1]+1.0);
    }
    printf("%.1lf",f[n]);
    //while(1);
    return 0;
}