从1到n整数中1出现的次数

题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。

 

解决思路 

　　1、常规思路（暴力解决），一个数一个数的计数

　　2、寻找数学规律

　　1、暴力循环计数

代码如下：

public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
    int count = 0;
    for(int i=0; i<=n; i++){
        int temp = i;
        //如果temp的任意位为1则count++
        while(temp!=0){
            if(temp%10 == 1){
                count++;
            }
            temp /= 10;
        }
    }
    return count;
}

　　2、寻找数学规律

　　

　　这里的 X∈[1,9]，因为 X=0 不符合下列规律，需要单独计算。

　　首先要知道以下的规律：

• 从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。
• 从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。
• 从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意的 X 都出现了 100 次。
• …
• 依此类推，从 1 至 10i，在它们的左数第二位（右数第 i 位）中，任意的 X 都出现了 10i−1 次。

　　这个规律很容易验证，这里不再多做说明。

接下来以 n=2593,X=5 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。

• 现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。（也可以这么看，3< X，则个位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（259）X101-1=259）。

• 然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。（也可以这么看，9>X，则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（25+1）X102-1=260）。

• 接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。（也可以这么看，5==X，则百位上可能出现X的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，等于更高位数字（2）X103-1+（93+1）=294）。

• 最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。（也可以这么看，2< X，则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（0）X104-1=0）。

到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时：

1. 取第 i 位左边（高位）的数字，乘以 10i−1，得到基础值 a。
2. 取第 i 位数字，计算修正值： 
   
   1. 如果大于 X，则结果为 a+10i−1。
   2. 如果小于 X，则结果为 a。
   3. 如果等 X，则取第 i 位右边（低位）数字，设为 b，最后结果为 a+b+1。

　　相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有O(log10n)。

public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int count = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i *= 10){
            int a = n/i; 
            int b = n%i;
            //之所以补8，是因为当百位为0，则a/10==(a+8)/10，
            //当百位>=2，补8会产生进位位，效果等同于(a/10+1)
            count += (a+8)/10*i+((a%10 ==1)?b+1:0);
        }
        return count;
    }
}