机器人单关节力矩控制

　　对于自由运动机器人来说，控制的目的是要控制机器人末端的位置和姿态（统一简称为位置），即所谓的位置控制问题。期望机器人末端达到的位置称为期望位置或期望轨迹，期望轨迹可以在机器人任务空间中给出，也可以通过逆运动学转化为机器人关节空间中的期望轨迹。期望轨迹通常有两种形式：一种是一个固定位置（setpoint），另一种是一条随时间连续变化的轨迹（trajectory）。

　　对于运动受限的机器人来说，其控制问题要复杂得多。由于机器人与环境接触，这时不仅要控制机器人末端位置，还要控制末端作用于环境的力。也就是说，不仅要使机器人末端达到期望值，还要使其作用于环境的力达到期望值。更广泛意义下的运动受限机器人还包括机器人协同工作的情况，这时控制还应包括各机器人间运动的协调，负荷的分配以及所共同夹持的负载所受内力的控制等复杂问题。

　　如下图所示，考虑单个电机与连杆的模型，其中$ au$为电机施加的力矩，$ heta$是连杆与水平线的夹角：

　　则系统的动力学方程为：$$ au=Mddot{ heta}+mgrcos heta$$

　　$M$是连杆绕转轴的转动惯量，$m$是连杆的质量，$r$是转轴到连杆质心的距离，$g$是重力加速度。实际情况中转轴处会存在摩擦力，这里简单假设摩擦力为粘滞阻力，即$ au_{fric}=bdot{ heta}$，将阻力项加入上面的动力学方程中，模型变为：$$ au=Mddot{ heta}+mgrcos heta+bdot{ heta}$$

　　可将其改写为：$$ au=Mddot{ heta}+h( heta,dot{ heta})$$

　　为进行仿真，设参数$M=0.5kgcdot m^2$，$m=1kg$，$r=0.1m$，$b=0.1Ncdot mcdot s/rad$，当连杆在平面上运动时$g=0$，当连杆垂直水平面运动时$g=9.81m/s^2$

PID控制

　　PID控制器时是最常用的反馈控制器。$$oxed{ au=K_p heta_e+K_iint heta_e(t)dt+K_ddot{ heta_e}}$$

　　其中比例系数$K_p$的作用就像一个虚拟弹簧，试图减小位置误差$ heta_e= heta_d- heta$；微分系数$K_d$的作用像虚拟阻尼器，试图减小速度误差$dot{ heta_e}=dot{ heta_d}-dot{ heta}$；积分系数可以减小稳态误差。

PD控制器与误差的二阶方程

　　忽略积分项，即$K_i=0$，这就是PD控制。我们假设机器人在水平面上运动（g=0），将PD控制规则带入动力学方程中可得到$Mddot{ heta}+bdot{ heta}=K_p( heta_d- heta)+K_d(dot{ heta_d}-dot{ heta})$，如果给定的控制量$ heta_d$恒定，则$dot{ heta_d}=ddot{ heta_d}=0$，于是$ heta_e= heta_d- heta$，$dot{ heta_e}=-dot{ heta}$，$ddot{ heta_e}=-ddot{ heta}$。动力学方程可改写为误差$ heta_e$的二阶微分方程：$$Mddot{ heta_e}+(b+K_d)dot{ heta_e}+K_p heta_e=0$$

　　将其改写为标准二阶形式：$$ddot{ heta_e}+frac{b+K_d}{M}dot{ heta_e}+frac{K_p}{M} heta_e=0 ightarrowddot{ heta_e}+2xiomega_ndot{ heta_e}+omega_n^2 heta_e=0$$

　　阻尼比$xi$和阻尼自然频率$omega_n$为：$xi=frac{b+K_d}{2sqrt{K_pM}}$、$omega_n=sqrt{frac{K_p}{M}}$

PID控制器与误差的三阶方程

　　考虑连杆在垂直水平面的平面上转动（g>0），用上面的PD控制器，误差动力学方程可写为：$$Mddot{ heta_e}+(b+K_d)dot{ heta_e}+K_p heta_e=mgrcos heta$$

　　这意味着稳态时$ heta$满足$K_p heta_e=mgrcos heta$，即当$ heta_d eqpmpi/2$时最终误差$ heta_e$不为零，因为机器人需要提供一个非零的力矩使连杆保持在$ heta_d eqpmpi/2$这个位置。

　　设$K_p=2.205Ncdot m/rad$，$K_d=2Ncdot mcdot s/rad$，连杆初始角度$ heta(0)=-pi/2$，初始角速度$dot{ heta}(0)=0$，期望角度$ heta_d=0$，期望角速度$dot{ heta_d}=0$。根据所设置的参数在Mathematica中求解微分方程，结果如下：

　　稳态误差可求解方程$K_p( heta_d- heta)=mgrcos heta$求得，约为-0.408弧度，即稳态时与期望值相差23.4°

　　可以在VREP中仿真该过程，新建一个长度为0.2m的圆柱体，质量设为1kg，在圆柱体一段添加旋转关节，圆柱体X、Y轴的转动惯量设为0.49(根据转动惯量的平行轴定理，绕关节转动的转动惯量为0.5)。关节设为力矩模式，打开关节动力学属性对话框，设置PID参数和目标位置（90°）：

　　选择ODE物理引擎进行仿真，打开圆柱体动力学属性对话框，点击编辑材料（Edit material），在Angular damping中输入0.1（Angular damping：an angular movement damping value, that adds angular drag, and that can increase stability）。给关节添加阻力可参考Set internal friction of joints和Material properties。

　　添加Graph记录关节转角进行仿真，可以看出存在稳态误差：

　　为了消除稳态误差，设$K_i>0$，即使用PID控制器。积分控制的作用是消除稳态误差，因为系统只要存在误差，积分作用就不断地积累，输出控制量，直到偏差为零，积分作用才会停止。但积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡。加入积分项后关于误差的微分方程为：$Mddot{ heta_e}+(b+K_d)dot{ heta_e}+K_p heta_e+K_iint heta_e(t)dt= au_{dist}$，其中$ au_{dist}$是重力项$mgrcos heta$。对该方程两边求导，可以得到误差的三阶微分方程：$$M heta^{(3)}_e+(b+K_d)ddot{ heta_e}+K_pdot{ heta_e}+K_i heta_e=dot{ au_{dist}}$$

　　如果$ au_{dist}$为常量（比如稳态时），方程右边$dot{ au_{dist}}$项为零。使用拉普拉斯变换将时域中的微分方程转换为复数域中的代数方程：$$s^3+frac{b+K_d}{M}s^2+frac{K_p}{M}s+frac{K_i}{M}=0$$

　　如果该特征方程根的实部全为负，则该系统稳定，且$ heta_e$趋于零。根据系统特征方程的劳斯判据，为了保证方程所有根的实部都为负，PID控制器的系数必须满足下列条件：$$egin{align*}K_d&>-b\K_p&>0\frac{(b+K_d)K_p}{M}>K_i&>0end{align*}$$

　　因此$K_i$的值必须保证落在上下界限之内。通常先选择合适的$K_p$、$K_d$值加快暂态过程，然后调整$K_i$使其能大到消除稳态误差，又不至于过大而影响稳定性。画出根轨迹图（根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数从零变到无穷时，闭环特征根s在平面上移动的轨迹），可以看出当$K_i=(b+K_d)K_p/M$时两个根将到达虚轴，$K_i$继续变大根会进入复平面的右半部分，此时系统将变得不稳定。

　　PID控制的伪代码如下：

time = 0                          // dt = servo cycle time
eint = 0                          // error integral
qprev = senseAngle                // initial joint angle q

loop
    [qd,qdotd] = trajectory(time) // from trajectory generator
   
    q = senseAngle                // sense actual joint angle
    qdot = (q - qprev)/dt         // simple velocity calculation
    qprev = q
   
    e = qd - q
    edot = qdotd - qdot
    eint = eint + e*dt
   
    tau = Kp*e + Kd*edot + Ki*eint
    commandTorque(tau)
   
    time = time + dt
end loop

　　使用之前建立好的VREP模型，设置积分系数$K_i=1$后再进行仿真：

　　可以看出添加积分项后稳态误差消除（但是产生了超调量）：

　　实际上在许多机器人控制器中设$K_i=0$，即不使用积分项。因为相比稳态误差，稳定性才是最重要的考虑因素。

前馈控制（Feedforward Control）

　　PID控制不考虑机器人的动力学特性，只按照偏差进行负反馈控制，即只有在得到误差信号后才能输出控制量。另一种控制策略是根据机器人动力学模型预先产生控制力/力矩。动力学模型为：$$ au=widetilde{M}( heta)ddot{ heta}+widetilde{h}( heta,dot{ heta})$$

　　根据轨迹生成器输出的期望位置$ heta_d$、速度$dot{ heta_d}$、加速度$ddot{ heta_d}$，前馈力矩为：$$ au(t)=widetilde{M}( heta_d(t))ddot{ heta_d}(t)+widetilde{h}( heta_d(t),dot{ heta_d}(t))$$

　　前馈控制伪代码如下：

time = 0                                           // dt = servo cycle time
loop
    [qd,qdotd,qdotdotd] = trajectory(time)         // trajectory generator
    tau = Mtilde(qd)*qdotdotd + htilde(qd,qdotd)   // calculate dynamics
    commandTorque(tau)
    time = time + dt
end loop

　　如果动力学模型完全准确，那么用前馈控制即可直接计算力矩。但实际上模型总是存在各种误差，因此前馈控制一般总是与反馈控制结合起来使用。比如下面这个例子，如果$widetilde{r}=0.08m$，即动力学公式中转轴到质心距离这个参数为0.08m（实际上这个值为0.1m）。因为存在测量和制造误差，准确的动力学模型很难得到。考虑2个任务：任务1连杆运动轨迹为$ heta_d(t)=-frac{pi}{2}-frac{pi}{4}cos(t)$，运动时间为$0leqslant t leqslant pi$；任务2连杆运动轨迹为$ heta_d(t)=frac{pi}{2}-frac{pi}{4}cos(t)$，运动时间为$0leqslant t leqslant pi$

　　可以看出模型存在误差的情况下，根据动力学方程计算力矩而得到的结果与期望值之间存在偏差。对于任务2重力会阻碍期望的运动，导致产生较大的跟踪误差。

　　对任务2，在MATLAB/Simulink中进行仿真也可以得到同样的结果：

　　其中arm dynamics子模块根据输入的力矩计算并输出角度或角速度：

　　期望角度轨迹（蓝线）与根据不准确的动力学模型计算的实际轨迹（橙线）如下图所示：

前馈-反馈控制（feedforward and feedback control）

　　前馈控制是一种预测控制，通过对系统当前工作状态的了解，预测出下一阶段系统的运行状况。前馈的缺点是在使用时需要对系统有精确的了解，只有了解了系统模型才能有针对性的给出预测补偿。但在实际工程中并不是所有的对象都是可得到精确模型的，而且很多控制对象在运行的同时自身的结构也在发生变化。所以仅用前馈并不能达到良好的控制品质。这时就需要加入反馈，反馈的特点是根据偏差来决定控制输入，不管对象的模型如何，只要有偏差就根据偏差进行纠正，可以有效的消除稳态误差。

　　前馈-反馈综合控制结合二者的优点，可以提高系统响应速度。从前馈控制角度看，由于增加了反馈控制，降低了对前馈控制模型精度的要求；从反馈控制角度看，前馈控制作用对主要干扰及时进行粗调，大大减少反馈控制的负担。

　　结合前馈与反馈，实际角加速度$ddot{ heta}$可写为：$$ddot{ heta}=ddot{ heta_d}+K_p heta_e+K_ddot{ heta_e}+K_iint heta_e(t)dt$$

　　将其带入动力学预测方程中可得到前馈-反馈控制器：$$oxed{ au=widetilde{M}( heta)(ddot{ heta_d}+K_p heta_e+K_iint heta_e(t)dt+K_ddot{ heta_e}) +widetilde{h}( heta,dot{ heta})}$$

　　前馈-反馈控制器的结构如下图所示，通常$K_i$设为零，即使用PD+前馈控制：

　　前馈-反馈控制的伪代码如下：

time = 0                                   // dt = cycle time
eint = 0                                   // error integral
qprev = senseAngle                         // initial joint angle q
loop
    [qd,qdotd,qdotdotd] = trajectory(time) // from trajectory generator
    
    q = senseAngle                         // sense actual joint angle
    qdot = (q - qprev)/dt                  // simple velocity calculation
    qprev = q
    
    e = qd - q
    edot = qdotd - qdot
    eint = eint + e*dt
   
    tau = Mtilde(q)*(qdotdotd+Kp*e+Kd*edot+Ki*eint) + htilde(q,qdot)
    commandTorque(tau)
    
    time = time + dt
end loop