先放柿子
$$sum_{i=1}^{i=n} i^2=frac{n*(n+1)*(2*n+1)}{6}$$
简单证明
$$sum_{i=1}^{n} i^2=sum_{i=1}^{n}i*(i-1)+sum_{i=1}^{n}i$$
$$=2*sum_{i=1}^{n}inom{i}{2}+frac{n*(n+1)}{2}$$
$$=2*inom{n+1}{3}+frac{n*(n+1)}{2}$$
$$=frac{2*(n+1)!}{(n-2)!*3!}+frac{n*(n+1)}{2}$$
$$=frac{(n-1)*(n+1)*n}{3}+frac{n*(n+1)}{2}$$
$$=frac{n*(n+1)*(2*n+1)}{6}$$